PMC邊界手征負折射平板波導模式特性及場分布

馬全問,肖中銀,徐曉雪,徐文杰,馬孝龍,劉德君,王子華

(上海大學特種光纖與光接入網省部共建重點實驗室,上海 200444)

PMC邊界手征負折射平板波導模式特性及場分布

馬全問,肖中銀,徐曉雪,徐文杰,馬孝龍,劉德君,王子華

(上海大學特種光纖與光接入網省部共建重點實驗室,上海 200444)

從理論上分析了以理想磁導體(perfect magnetic conductor,PMC)為邊界的手征負折射平板波導的模式特性及其磁場的具體分布.利用PMC邊界條件,導出了手征負折射波導的色散方程和磁場各分量表達式.通過波導的色散曲線發現,當手征參數κ>1時,某些區域曲線出現下凹,左旋圓極化(left circularly polarized,LCP)波的折射率為負值,實現了負折射特性,截止頻率也不再是傳播常數β=0所對應的頻率.根據傳播常數β和k+,k?的關系,將色散曲線分為3個區域,給出了各區域一階奇模和一階偶模磁場的具體分布,并與一般手征媒質平板波導的磁場分布作了比較.結果發現,切向分量場Hy,Hz在上下邊界處為零,滿足PMC邊界條件.而由于面磁流的存在,法向分量Hx在邊界處不為零.

手征負折射;平板波導;理想磁導體;色散特性;電磁場分布

手征媒質因具有旋光性以及圓二色性而被廣泛關注,由手征媒質填充構成的平板波導和手征光纖的特性研究也一度成為熱點[1-2].手征波導支持混合模的傳播,而且對于相同的截止頻率有不同的傳播模式,從而限制了手征參數的大小[3].近年來,負折射波導的一些特性,比如表面波模的存在、基模的缺失,以及能夠應用于“完美透鏡”等[4-5],使其在通信、光學領域有著廣闊的應用前景.

近期研究表明,手征參數是頻率的函數,并且在諧振頻率處最大,這意味著可以利用手征媒質實現負折射.文獻[6]指出,當手征參數κ>1時,手征媒質中的一個本征極化波將會變成后向波,其相應折射率將小于零,從而實現手征負折射.并且,在微波和太赫茲波段具有負折射特性的手征媒質已經出現[7],相應的結構設計和實現負折射的頻段也日趨多樣化[8-9].因此,在微波新器件的研制方面,手征負折射媒質也有著巨大的應用潛力.對于手征媒質平板波導,已有學者對其理論以及結構進行了大量廣泛的研究[3,10].相關研究大多針對以理想電導體(perfect electric conductor,PEC)作為邊界的手征波導,對以理想磁導體(perfect magnetic conductor,PMC)為邊界波導的研究相對較少[11].本研究對以PMC為邊界的手征負折射平板波導進行分析,得出色散方程以及場分布表達式,并給出了色散曲線和磁場分布.結果發現色散曲線與以PEC為邊界的手征負折射波導有類似的特性,但由于PEC和PMC的邊界條件不同,所以二者場分布完全不同.

對于PMC而言,磁導率μ為無窮大,邊界條件如下[12]:

1 理論分析

電磁場在各向同性手征媒質中的本構關系為

圖1 邊界為PMC的手征負折射平板波導結構Fig.1 Structure of parallel-plate chiral waveguide with PMC boundary

在手征媒質平板波導中,n±=n(1±κ),可見當手征參數κ>1時,n?=n(1?κ)<0,即LCP波的折射率為負,從而實現手征負折射特性.

利用手征媒質的本構關系(見式(3)和(4))和麥克斯韋方程組,可以得到波導內部的波動方程[10]如下:

式(9)對應E=F,G=H,這使得Hx和Hy呈奇對稱分布,所以稱為奇模特征方程;同理,式(10)對應E=?F,G=?H,此時Hx和Hy呈偶對稱分布,故稱為偶模特征方程.

進而由式(8)以及PMC的邊界條件,可以得到波導內部的各磁場分量如下:

1.1 研究對象 選取2004—2017年于遼寧中醫藥大學附屬第二醫院口腔科行下頜阻生第三磨牙拔除術的260例患者為研究對象，按照手術方法不同，將患者分入A、B兩組。A組中，男性150例，女性64例；中位年齡32.7歲；前傾阻生100例，水平阻生62例，垂直阻生51例，復雜型1例。B組中，男性32例，女性14例；中位年齡33.1歲；前傾阻生20例，水平阻生18例，垂直阻生8例。兩組患者一般資料比較，差異無統計學意義(P>0.05)，具有可比性。患者及其家屬均簽署知情同意書，本研究經醫院倫理委員會批準。

式(11)～(13)為奇模磁場.

式(14)～(16)為偶模磁場.E為各分量的系數,由電磁波的功率大小來決定.

2 數值分析及討論

2.1 色散特性

基于式(9)和√(10),可得到波導中的奇偶模色散特性曲線如圖2所示,其中橫坐標為βd,縱坐標為且手征媒質的折射率n=2.3,手征參數κ=1.8.

圖2 手征負折射波導中低階模奇偶模色散特性曲線(κ=1.8>1)Fig.2 Dispersion curves of propagating modes in a chiral negative refraction waveguide(κ=1.8>1)

對于以PMC為邊界的手征負折射平板波導,奇偶模色散曲線從同一截止頻率處出發后分為兩支(見圖2),也就是說對于任意大于最低截止頻率的平面波,相同的傳播常數會有兩種模式與之對應(實線對應偶模,虛線對應奇模).由于手征參數κ>1,奇偶模曲線都會有下凹的部分,但下凹程度的不同導致各自的截止頻率不再相同.這種波導結構的截止頻率并不是普通波導中定義的βd=0時對應的頻率,而是導模可以傳播的最小頻率.另外,在某些交叉點處,奇模和偶模可以同時存在.圖2中部分曲線的斜率為負,這表明由于κ>1實現了負折射,使能量的傳播方向與波矢方向相反.但是一般手征媒質(n=2.3,κ=0.4<1)填充的PMC邊界平板波導(見圖3)就沒有這種特性.

圖3 一般手征波導中低階模奇偶模色散特性曲線(κ=0.4<1)Fig.3 Dispersion curves of propagating modes in a common chiral waveguide(κ=0.4<1)

比較圖2和3還可以發現,手征負折射平板波導中不存在基模,而一般手征媒質波導中存在;并且圖3中色散曲線沒有下凹的部分,這也印證了一般手征媒質波導中能量傳播的方向和波矢方向是相同的,沒有后向波的產生.

2.2 場分布特性

由于手征媒質中存在2個波數k+和k?,所以根據k+,k?和傳播常數β之間的關系[3],把色散曲線分為3個區域(見圖2和3).區域Ⅰ:β

所以稱區域Ⅰ為快-快-波(fast-fast-wave)區域;同理,在區域Ⅱ中滿足v?>vp>v+,故稱之為快-慢-波(fast-slow-wave)區域;而在區域Ⅲ中滿足v?>v+>vp,故稱之為慢-慢-波(slow-slowwave)區域.下面將對這3個區域的場分布情況進行詳細討論.

為了研究以PMC為邊界的手征負折射波導的具體場分布,在區域Ⅰ和Ⅱ的一階奇模和一階偶模上分別選取幾個點,并根據式(11)～(16),給出磁場各個分量的具體分布.

對于圖2所示區域Ⅰ中一階奇模上的A點,βd=1,?=3.095 9.將各個參量數值代入式(11)～(13),并令系數E=1,可以得到與A點相對應的磁場分量Hx,Hy和Hz的分布如圖4所示,相應的參數及坐標值已在圖中標出.

從圖4中可以看出,Hz是關于x軸的偶函數,即Hz呈偶對稱分布,而Hx,Hy呈奇對稱分布,故稱這種橫向磁場呈奇對稱分布的電磁場模式為奇模場.對于PMC而言,磁場的切向分量要在分界面處連續(滿足邊界條件),從而Hy,Hz在上下邊界(圖中x/d=±0.5)處應為0.而由于理想磁導體上有磁流的存在,使得法向分量Hx不連續,從而在x/d=±0.5處不為0.

同樣,對于圖2所示區域Ⅰ中一階偶模上的B點,βd=1,?=3.027 5.根據式(14)～(16),可以得到磁場各個分量Hx,Hy和Hz的具體分布如圖5所示.從圖中可以發現,橫向場Hx,Hy呈偶對稱分布,而縱向場Hz呈奇對稱分布,故稱這種橫向磁場呈偶對稱分布的電磁場模式為偶模場.可以看出,偶模場在x/d=±0.5處同樣滿足PMC的邊界條件.

圖4 一階奇模磁場分布(圖2區域Ⅰ中的A點)Fig.4 Amplitudes of magnetic field components for odd-wave mode(corresponds to point A in Fig.2)

圖5 一階偶模磁場分布(圖2區域Ⅰ中的B點)Fig.5 Amplitudes of magnetic field components for even-wave mode(corresponds to point B in Fig.2)

通過上述分析可知,圖2所示區域Ⅱ中的奇偶模磁場表達式與式(11)～(16)相同.通過區域Ⅱ中一階奇模上的D點(βd=4,?=2.996 1),以及一階偶模上的C點(βd=4,?=1.954 4),可以得出相應的磁場分布分別如圖6和7所示.

觀察圖6和7可知,雖然區域Ⅱ中的磁場分布也滿足奇偶模特性和PMC邊界條件,但波形較區域Ⅰ有較大改變,原因是區域Ⅱ中LCP波變為衰減波,而RCP波仍是正(余)弦項疊加的傳輸波.比較圖5和7可知,圖5中Hz沿x軸方向上大于一個波長,這是因為在此區域有兩個極化波相互疊加;而圖7中Hz沿x軸方向上只有一個波長,這是由于LCP波變為沿x軸方向的衰減波,而導波僅剩RCP波.

對于區域Ⅲ而言,由于β>k+>k?,LCP波和RCP波均變為衰減波(見圖2),使得導模不存在,則電磁波在此區域將不能傳播.

為了更好地說明以PMC為邊界的手征負折射平板波導的場分布特性,下面給出一般手征媒質平板波導一階偶模和一階奇模的具體磁場分布(見圖8和9),分別對應圖3中的E點(βd=1,?=3.384 3)和F點(βd=4,?=4.625 7).

圖6 一階奇模磁場分布(圖2區域Ⅱ中的D點)Fig.6 Amplitudes of magnetic field components for odd-wave mode(corresponds to point D in Fig.2)

圖7 一階偶模磁場分布(圖2區域Ⅱ中的C點)Fig.7 Amplitudes of magnetic field components for even-wave mode(corresponds to point C in Fig.2)

圖8一般手征媒質波導一階偶模磁場分布(圖3區域Ⅰ中的E點)Fig.8 Amplitudes of magnetic field components for even-wave mode in a common chiral medium(corresponds to point E in Fig.3)

圖9一般手征媒質波導一階奇模磁場分布(圖3區域Ⅱ中的F點)Fig.9 Amplitudes of magnetic field components for odd-wave mode in a common chiral medium(corresponds to point F in Fig.3)

比較區域Ⅰ中的圖5和8,由于手征參數κ的取值不同,u+,u?不同,且都是實數,從而導致場分布不同;對于區域Ⅱ中的圖6和9,當κ=1.8>1時,u+仍為實數,u?變為虛數,從而使得對應場分布不同.

3 結束語

首先對以PMC為邊界的手征負折射波導的模式特性進行了較為詳盡的分析,發現此種波導中不存在基模;色散曲線在某些區域會下凹,截止頻率也不再是縱向傳播常數βd=0時所對應的頻率,而是導模可以傳播的最小頻率,并且奇偶模的截止頻率也不再相等.隨后,根據傳播常數β與k+,k?的關系,將色散曲線分為3個區域,給出了波導內部磁場的表達式,并繪出了每個區域的一階奇模和一階偶模的磁場分布,且與一般手征媒質平板波導磁場分布作了比較.結果發現,區域Ⅰ中LCP波和RCP波都是正(余)弦項疊加的傳輸波,而區域Ⅱ中LCP波為指數項疊加的衰減波,RCP波仍為正(余)弦項疊加的傳輸波.奇模對應的橫向場Hx,Hy呈奇對稱分布,縱向場Hz呈偶對稱分布;偶模對應的橫向場Hx,Hy呈偶對稱分布,縱向場Hz呈奇對稱分布.并且,磁場切向分量都滿足PMC邊界條件,即Hy,Hz在x/d=±0.5處為0.

[1]Lindell I V,Sihvola A H,Tretyakov S A,et al.Electromagnetic waves in chiral and biisotropic media[M].Boston:Artech House,1994:28-35.

[2]Ioannidis A,Stratis I G,Yannacopoulos A N.Electromagnetic fields in chiral media[C]// Influence of Traditional Mathematics and Mechanics on Modern Science and Technology.2004: 251-258.

[3]Pelet P,Engheta N.The theory of chirowaveguides[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,1990,38(1):90-98.

[4]Shadrivov I V,Sukhorukov A A,Kivshar Y S.Guided modes in negative-refractive-index waveguides[J].Physical Review E,2003,67(5):057602.

[5]Pendry J B.Negative refraction makes a perfect lens[J].Physical Review Letters,2000,85(18): 3966.

[6]Zhang S,Park Y S,Li J,et al.Negative refractive index in chiral metamaterials[J].Physical Review Letters,2009,102(2):023901.

[7]Wang B,Zhou J,Koschny T,et al.Nonplanar chiral metamaterials with negative index[J]. Applied Physics Letters,2009,94(15):151112.

[8]Wongkasem N,Akyurtlu A,Marx K A,et al.Development of chiral negative refractive index metamaterials for the terahertz frequency regime[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2007,55(11):3052-3062.

[9]Zarifi D,Soleimani M,Nayyeri V.Dual-and multiband chiral metamaterial structures with strong optical activity and negative refraction index[J].Antennas and Wireless Propagation Letters,2012,11:334-337.

[10]Oksanen M,Koivisto P K,Lindell I V.Dispersion curves and fields for a chiral slab waveguide[C]//IEE Proceedings-H(Microwaves,Antennas and Propagation).1991:327-334.

[11]Baqir M A,Choudhury P K.On the energy flux through a uniaxial chiral metamaterial made circular waveguide under PMC boundary[J].Journal of Electromagnetic Waves and Applications,2012,26(16):2165-2175.

[12]Lindell I V,Sihvola A H.Perfect electromagnetic conductor[J].Journal of Electromagnetic Waves and Applications,2005,19(7):861-869.

Modes and fields for a chiral negative refraction parallel-plate waveguide under PMC boundary

MA Quan-wen,XIAO Zhong-yin,XU Xiao-xue,XU Wen-jie,MA Xiao-long, LIU De-jun,WANG Zi-hua
(Key Laboratory of Specialty Fiber Optics and Optical Access Networks, Shanghai University,Shanghai 200444,China)

The mode characteristics and magnetic distributions of a chiral negative refraction parallel-plate waveguide under perfect magnetic conductor(PMC)boundary are studied theoretically.With boundary conditions of PMC,dispersion relations and electromagnetic fields are obtained.Using the dispersion curves,if the chirality parameter κ>1,curves become concave-down in some regions and the refractive index of left circularly polarized(LCP)wave is negative.It imply that chiral medium can realize negative refraction.The cutoff frequency is no longer the conventionally defined frequency when propagation constant is zero.According to the relations between propagation constant β and wavenumbers k+and k?,the dispersion curves are divided into three regions.Amplitudes of magnetic field components on the first-order even mode and first-order odd mode are plotted respectively.Chatacteristics of the magnetic field components are discussed and compared with the conventional chiral slab waveguide.It is shown that Hyand Hzare zero at x/d=±0.5.It indicates that they satisfy the PMC boundary conditions and,due to the existence of magnetic current,Hxis not zero at the interface.

chiral negative refraction;slab waveguide;perfect magnetic conductor(PMC); dispersion characteristic;electromagnetic field

O 441.4

A

1007-2861(2015)05-0579-09

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.03.013

2014-04-30

國家自然科學基金資助項目(61275070,61077068)

肖中銀(1964—),男,教授,博士生導師,研究方向為光波導理論與技術、微波毫米波電路. E-mail:zhyxiao@staff.shu.edu.cn