對一道幾何證題中輔助線畫法的物理解釋

羅春焱

（重慶綦江區三江中學，重慶 401431）

中學學科教學中，由于受到學科界域的限制，教師往往只從自己從事的單一學科去尋找答案，而忽視與其他學科的橫向聯系，忽視與其他學科的相互交叉.對某些問題可以從多學科角度做出理解，下面筆者通過一道幾何證題中涉及輔助線畫法的學生疑問的解答過程來加以說明，以期能起拋磚引玉的作用.

1 幾何題目及其證明

證明：如圖2所示，連接AG并延長與BC交于D；延長PQ，過B、D、A、C4點作PQ的垂線，其垂足分別為E、T、H、F.

圖1

圖2

因為△PEB∽△PHA，所以

又因為△QFC∽△QHA，△DTG∽△AHG，則

由于D是BC的中點，因而DT是梯形BEFC的中位線.所以，

聯立（1）～（4）式可得

2 學生疑問及其對疑問的物理解釋

通過證明，問題已得到解決，然而，有學生卻提出“在該題的證明中，為什么要添加這樣的輔助線呢？”的疑問.對于這個新問題，數學教師通常會回答“只要同學們多加練習，見多識廣，就可熟能生巧”.針對這一疑問，筆者引導學生進行如下的教學探討.

師：同學們，這樣作輔助線有科學依據嗎？現在，我想用物理方法來解釋這個問題，請同學們跟我一起共同來完成.

生：保持沉默.

師：大家想一想：在物理學中，三角形的實體模型是怎樣的呢？

生：可以是一塊均質的三角形薄板；也可以是3個等質的小球用3根輕直桿連接而成.

師：我們是否可以用“3個等質小球用3根輕直桿連接”的三角形實體模型來解決以上關于輔助線畫法的問題呢？

生：可以，因為我們曾經做過2個物理實驗：一個是懸掛法測重心實驗；另一個是驗證杠桿平衡條件實驗.如果將2個實驗結合起來似乎就能解決這個問題了.

師：很好！那么究竟應該怎么做呢？

生：走向黑板，畫出圖3與圖4的幾何圖形后說：將A球用細線懸掛于O點，由懸掛法測重心實驗知道，當ABC整體靜止時，三角形ABC的重心G必在豎直線OA上（圖3）.同理，將Q點用細線懸掛于O，當ABC整體靜止時，則三角形ABC的重心G也必在豎直線OQ上（圖4）.在圖4中，我們就可以用杠桿平衡條件（A球的重力沿逆時針方向的力矩等于B、C兩球的重力沿順時針方向的力矩的代數和）列方程來加以解決.

設A、B、C3個小球的質量均為m.如圖4所示，由杠桿平衡條件得

故AH＝CF＋BE.

又因為△PEB∽△PHA，

又因為△QFC∽△QHA，

圖3

圖4

師：顯而易見，結合物理知識來證明這道幾何題更為簡捷.由于力臂是支點（懸點O）到力的作用線的垂直距離.該問題中AH、BE、CF恰好分別是A、B、C3個小球重力的力臂.因此，我認為，這就是數學上證明該題的過程中，要過A、B、C3點分別作PQ的垂線（輔助線）的原因所在.

學生（全班齊聲）：原來這道幾何題還蘊藏著如此豐富的物理內涵，真是數理不分家.

3 教學啟示與感悟

通過以上教學實例，筆者認為，在課堂教學中滲透不同學科知識是今后課程教學的新走向，它不僅符合當前高考綜合學科考試的要求，也是對開設研究性課程的有力支持.教師要積極鉆研相關學科教材，發掘不同學科知識在解決跨學科綜合問題中的功效，促進不同學科知識間的融會貫通.這樣，能喚起學生的學習興趣，點燃學生智慧的火花，使學生的探究能力和創新能力得到充分的發展.