多球平衡問題

邱為鋼

（湖州師范學院理學院，浙江 湖州 313000）

多球平衡問題是中學物理競賽訓練常見題目，理想模型是多個光滑的球，約束在曲面（柱面或半球面）內，或者用繩子懸掛起來，求滿足什么樣的條件達到平衡.問題關鍵是求解受力平衡方程，常用方法是幾何和三角函數法.其實用代數法（解析幾何法）更加直觀簡單，且容易推廣到三維空間.代數法是基于這樣的思想：如果一個物理矢量，例如力，已經確定與一個幾何矢量方向相同，那么這個物理矢量必定與這個幾何矢量成比例關系，它們的分量之間也成比例關系，且分量之間的比例系數相同.這個比例系數是常數，有量綱.為集中討論，本文只考慮懸掛多球平衡問題.

先討論3球問題，用兩個相同長度的繩子拴住兩個一樣的球，掛在天花板上的同一頂點上，兩球接觸，然后再把第3個球放在兩球上，松手，看這3個球能否達到平衡.（這是假想模型，你試著做做實驗看呢，有問題嗎？）假定3球達到平衡，設第3個球的球心O為原點，坐標為（0，0），半徑為r，質量為m.前兩個球球心為O1，O2坐標分別為（x，－y），（－x，－y），半徑為R，質量為M.天花板上頂點H坐標為（0，h），繩子長度為l，如圖1所示.

兩球的球心距離為OO1＝R＋r，即有

圖1 懸掛了球示意圖

頂點到球心距離為HO1＝l＋R，即有

繩子中張力方向與矢量相同，由對稱性，設比例系數都為λ，即

兩球的相互作用力方向與矢量相同，由對稱性，設比例系數都為k，即

3個球受力平衡，兩個繩子中張力和3個小球重力矢量和為0，即

對第1個小球來說，繩子張力，重力和第3個小球對它的作用力之和為0，即

由（6）式解得

由（5）式解得

第3個小球到繩子的距離d為

考慮實際約束條件，第3個小球碰不到繩子，即d＞r，或者

不等式（12）成立的必要條件是對應的判別式大于等于0，計算得到

（13）式含義是質量比η越大，半徑比τ越大，越容易達到平衡位形，這與實際經驗相符.如果3個小球完全一樣，那么（13）式取等號，這就意味著3球平衡問題只能取一種平衡位形，與文獻［1］的結論一致.

4球受力平衡，3個繩子中張力和4個小球重力矢量和為0，即

對第1個小球來說，繩子張力，重力和第4個小球對它的作用力之和為0，即

由（18）式解得

由（17）式解得

由（19）和（20）式解得

第4個小球到繩子的距離d是

考慮實際約束條件，第4個小球碰不到繩子，即d＞r，或者

（23）式兩邊平方，并利用（1）和（2）式，且定義半徑比為τ＝R/r，那么（23）式化為

不等式（24）成立的必要條件是對應的判別式大于等于零，計算得到

對比（25）和（13）式，說明實際4個小球比理想模型3個小球更加容易達到平衡，這也符合實際經驗.如果4個小球完全一樣，那么（25）式成立，這就意味著4球體系可以存在平衡位形，推廣了文獻［1］的結論.各個參數，例如坐標，張力等可以求解（1），（2），（19），（20）得到，不再具體給出.

由此看來，考慮一個物理問題，我們必須從實際出發，而不是只研究簡化模型，例如實際問題是4球平衡，而為什么常見題目只考慮3球？還有，對于理論模型，能不能真的去實驗一下，看看會不會發生你意料不到的問題.有問題了，就有可能有新的發現.

1 黃尚鵬.警惕3球平衡問題的陷阱［J］.物理通報，2014（11）：54－56.