基于ELM的機器人自適應(yīng)跟蹤控制

李軍， 乃永強

(蘭州交通大學自動化與電氣工程學院，甘肅蘭州730070)

基于ELM的機器人自適應(yīng)跟蹤控制

李軍， 乃永強

(蘭州交通大學自動化與電氣工程學院，甘肅蘭州730070)

針對剛性臂機器人系統(tǒng)，提出基于極限學習機(ELM)的兩種自適應(yīng)神經(jīng)控制算法。極限學習機隨機選擇單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SLFNs)的隱層節(jié)點及其參數(shù)，僅調(diào)整其網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值，以極快的學習速度可獲得良好的推廣性。在自適應(yīng)控制算法中，ELM逼近系統(tǒng)的未知非線性函數(shù)，附加的魯棒控制項補償系統(tǒng)的逼近誤差。ELM神經(jīng)控制器的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整律及魯棒控制項由Lyapunov穩(wěn)定性理論分析得出，所設(shè)計的兩種控制算法均不依賴于初始條件的約束且放松對參數(shù)有界的要求，同時保證閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差滿足全局穩(wěn)定而且漸近收斂于零。將所提出的ELM控制器應(yīng)用于二連桿剛性臂機器人跟蹤控制實例中，并與現(xiàn)有的徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制算法進行比較，仿真結(jié)果表明，在同等條件下，ELM控制器具有良好的跟蹤控制性能，顯示出其有效性和應(yīng)用潛力。

自適應(yīng)跟蹤控制;極限學習機;單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);剛性臂機器人;算法

0 引 言

由于機器人系統(tǒng)中存在著諸如機器人自身參數(shù)誤差、觀測噪聲、未建模動態(tài)、負載擾動以及不確定性的外界干擾等因素，因此，針對這種不確定性的在線補償，不同的控制方法相繼被提出。文獻［1］引入濾波跟蹤誤差，設(shè)計了自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值在線調(diào)整，保證了閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號一致最終有界;文獻［2］設(shè)計的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器無須計算機器人的逆動態(tài)模型和雅可比矩陣的逆，實現(xiàn)了機器人任務(wù)空間的跟蹤控制;文獻［3］采用自適應(yīng)模糊系統(tǒng)，針對機器人不確定部分，在同時包括摩擦、外加干擾和負載變化且模糊逼近誤差在滿足某種假設(shè)條件的情況下，設(shè)計了基于模型已知，模型未知的兩種自適應(yīng)控制方法，均取得了較好的控制效果;文獻［4］采用滑模控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，并使用模糊監(jiān)督控制器，雖然提高了控制系統(tǒng)的性能，但是還須獲取系統(tǒng)的先驗知識和附加一些限制條件的約束;文獻［5］針對非完整移動機器人，通過模糊邏輯與Backstepping方法相結(jié)合，在Lyapunov綜合法前提下提出了自適應(yīng)模糊控制方法，平滑的魯棒補償器有效地減少了逼近誤差及外加干擾;文獻［6］針對機器人系統(tǒng)設(shè)計了基于自適應(yīng)模糊控制和自適應(yīng)魯棒控制的混合控制器，魯棒的自適應(yīng)控制項能有效處理由于外部擾動以及模糊逼近誤差和其他建模誤差引起的系統(tǒng)不確定性;文獻［7］針對水下機器人設(shè)計了直接自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制方法，證明了存在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差和外部擾動的情況下，水下機器人控制系統(tǒng)的跟蹤誤差一致穩(wěn)定有界;文獻［8］針對系統(tǒng)參數(shù)完全未知且僅輸出可測的剛性臂機器人，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和高增益觀測器設(shè)計了一種自適應(yīng)神經(jīng)控制算法，實現(xiàn)了沿周期跟蹤軌跡對未知閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)的確定學習，改進了控制系統(tǒng)的性能;文獻［9］針對模型不確定的機器人系統(tǒng)設(shè)計了基于高斯RBF靜態(tài)神經(jīng)控制器的穩(wěn)定自適應(yīng)跟蹤控制方法，靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器在開關(guān)邏輯的監(jiān)督下完成控制，完整的控制方案可以看作是一個兩階段控制器，基于調(diào)制信號的監(jiān)督Agent能確保軌跡運行在正常范圍區(qū)域內(nèi)，這種結(jié)構(gòu)能起到克服多維系統(tǒng)中的“維數(shù)災(zāi)難”問題;文獻［10］針對驅(qū)動系統(tǒng)動態(tài)的機器人，提出了由PD控制器、前饋補償器和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償器組成的控制方法，該方法不依賴于機器人系統(tǒng)精確動力學模型，僅需要系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，既保留了PD控制器的優(yōu)勢，又提高了控制系統(tǒng)的跟蹤性能;文獻［11］針對n自由度機器人系統(tǒng)設(shè)計了動態(tài)結(jié)構(gòu)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒自適應(yīng)控制器，附加的滑模魯棒項有效地減弱了建模誤差，并采用投影算子保證了動態(tài)參數(shù)的有界性。

極限學習機(ELM)是由Huang［12］等提出的用于SLFNs的快速學習算法。該算法的特點是隨機選擇SLFNs的隱層節(jié)點參數(shù)，學習過程中只調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值，因此，與采用梯度下降算法調(diào)整所有網(wǎng)絡(luò)權(quán)值參數(shù)的SLFNs相比，ELM提高了SLFNs的推廣性，具有極快的學習速度。文獻［13］針對一類SISO仿射非線性系統(tǒng)，提出了基于ELM的直接自適應(yīng)神經(jīng)控制算法。

鑒于ELM的優(yōu)點，本文針對剛性臂機器人系統(tǒng)，提出基于機器人不確定項整體逼近與分塊逼近的兩種自適應(yīng)ELM神經(jīng)控制算法，利用ELM逼近系統(tǒng)的未知非線性函數(shù)，附加的魯棒控制項補償系統(tǒng)的逼近誤差。所獲得的兩種控制器均不依賴于初始條件的約束且放松對參數(shù)有界的要求，并應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明系統(tǒng)在存在未知外界干擾、摩擦力、負載變化以及建模逼近誤差條件下，基于ELM網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)控制律及相應(yīng)的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)律均能保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后，將含有不同隱層節(jié)點激活函數(shù)的ELM控制器應(yīng)用于二自由度平面剛性臂機器人系統(tǒng)中，在同等條件下，與RBF自適應(yīng)控制算法進行比較，以驗證本文控制算法的有效性。

1 ELM學習算法

1.1 具有隨機隱層節(jié)點的SLFNs

對于含有L個隱層節(jié)點，m個輸出節(jié)點的SLFNs的輸出可以描述為

其中wi∈Rn，bi∈R，符號.表示內(nèi)積。

若為RBF類型節(jié)點(RBF nodes)，其激活函數(shù)為

其中wi∈Rn，bi∈R+。

1.2 ELM算法

以矩陣形式表示為

式中

其中:H為SLFNs的隱層輸出矩陣，H的第i列表示與輸入x1，x2，…，xN相關(guān)的第i個隱層節(jié)點的輸出向量。矩陣H的第i行表示與輸入xi相關(guān)的隱層特征映射，即隱層特征映射定義為

如果激活函數(shù)k在任意區(qū)間上無限可微，且SLFNs隱層節(jié)點及節(jié)點參數(shù)可以隨機生成。存在如下定理

定理1［14-15］給定任意小的正數(shù)ε(ε＞0)和任意區(qū)間上無限可微的激活函數(shù)k:R→R，N組任意給定的不同訓練樣本在以概率1收斂的任意連續(xù)概率分布下，存在L≤N，對于在Rn×R的任意區(qū)間上隨機生成的SLFNs隱層節(jié)點參數(shù)成立。

從插值的思想看隱層節(jié)點的最大數(shù)目L應(yīng)當小于訓練樣本的數(shù)目N。事實上，L=N時，訓練誤差將為零。由定理1，當L小于N時，SLFNs將以很小的訓練誤差逼近訓練樣本，且矩陣H并非方陣，從而存在使得

式(8)中，權(quán)值最小范數(shù)的最小二乘解為

其中H?為矩陣H的Moore-penrose廣義逆。

2 ELM的自適應(yīng)跟蹤控制

2.1 機械臂動力學模型及其結(jié)構(gòu)特性

考慮一個n關(guān)節(jié)的剛性臂機器人模型，其動力學方程為

機器人系統(tǒng)的動力學特性如下

特性1 慣性矩陣M(q)是正定對稱矩陣且有界，I為單位矩陣，存在正數(shù)m1，m2滿足不等式m1I≤M(q)≤m2I。

2.2 基于ELM整體逼近的控制器設(shè)計

跟蹤誤差定義為

其中qd(t)為期望軌跡。

濾波跟蹤誤差定義為

實際應(yīng)用中，模型不確定項f(x)未知，因此需要采用單輸出的ELM網(wǎng)絡(luò)分別對不確定項f(x)中的每個元素進行逼近，則式(6)中的矩陣B∈此時成為L×1的列向量，而針對輸入x，式(6)中的矩陣H此時成為1×L的行向量h(x)。則用于逼近的ELM網(wǎng)絡(luò)具體可表達為

其中βMi為設(shè)計參數(shù)，L表示ELM網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點的個數(shù)。

其中D表示x的有界緊集，則權(quán)值估計誤差為

ELM逼近誤差為

假定緊集D足夠大，保證對所有x∈D，最小逼近誤差有界，即|εi(x)|≤ˉεi，?x∈D，其中ˉεi為未知常量，i=1，…，n。

由上述分析，則可得到

其中Kv=diag{kv1，kv2，…，kvn}(kvi＞0)為控制增益矩陣。

為了進一步減少對模型的逼近誤差，還可引入魯棒控制項τr。而且在實際的工程中，模型最小逼近誤差的上界往往無法確定，即逼近誤差的上界也需要通過適當?shù)淖赃m應(yīng)律在線進行調(diào)整。

定理2 考慮式(10)的機器人系統(tǒng)，若滿足期望軌跡qd∈Rn光滑有界，且存在光滑有界的假設(shè)條件，若設(shè)計具有魯棒性的控制律為

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證明 首先基于如下假設(shè)

假設(shè)1 對于任意給定正常數(shù)ωi，有

將控制律式(19)代入式(13)可得

選擇Lyapunov函數(shù)為

對式(24)微分，并將式(23)代入得

因此，無論權(quán)值自適應(yīng)律取何種形式，均能保證

將式(21)代入上式得

由假設(shè)1可得

則有

2.3 基于ELM網(wǎng)絡(luò)分塊逼近的控制器設(shè)計

由式(14)可知，被控對象中的f(x)可寫為

f(x)=M(q)q¨r+C(q，q.)q.r+G(q)+F(q，q.，q¨)。

由式(25)可知，在緊集Ωs之外ELM網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值向量表示ELM網(wǎng)絡(luò)的隱層輸出，i，j=1，…，n。

由式(16)及式(17)可知，ELM網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值估計誤差為

ELM網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差如下

根據(jù)以上分析，則有

定理3 考慮式(10)的機器人系統(tǒng)，若滿足期望軌跡qd∈Rn光滑有界，且存在光滑有界的假設(shè)條件，若設(shè)計具有魯棒性的控制律為

其中

其中σMij＞0、σcij＞0、σGi＞0、σFi＞0為設(shè)計常數(shù)，i，j= 1，…，n。則控制律式(30)可保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號一致最終有界，且軌跡跟蹤誤差及其導數(shù)漸近收斂于零，即當t→∞時，e(t)，e.(t)→0。

證明 首先將式(13)改寫為

選擇Lyapunov函數(shù)為

對式(42)微分，并將式(41)代入得

根據(jù)機器人特性2，并將式(33)～式(36)代入上式，與定理2的證明相似，則有

由假設(shè)1可得

則有

其中λmin(Kv)表示矩陣Kv的最小特征值。緊集定義為

與定理2的分析類似，同樣得出控制律式(30)可保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號一致最終有界，且跟蹤誤差及其導數(shù)漸近收斂于零。因此，定理得證。

3 仿真研究

為了驗證所設(shè)計的ELM自適應(yīng)控制算法的有效性，選擇二自由度平面剛性機械臂為被控對象進行仿真，并與RBF網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制方法在同等條件下進行比較。機械臂的動力學模型為方程(10)，其各參數(shù)為［16］

其中，q1和q2分別為關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的角度和分別為關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的角速度;m1和m2分別為連桿1和連桿2的質(zhì)量;l1和l2分別為連桿1和連桿2的長度;g為重力加速度。摩擦力和外界干擾分別表示為

機械臂動力學方程中的參數(shù)為

l1=l2=1.0 m，m1=0.8 kg，m2=2.3 kg，g= 9.8m/s2。系統(tǒng)的初始狀態(tài)選擇為

實驗中，ELM網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點分別考慮RBF型節(jié)點及可加性節(jié)點，RBF型節(jié)點的隱層激活函數(shù)選擇高斯函數(shù)，即K(x;w，b)=exp(-‖x-w‖2/b);可加性節(jié)點的隱層激活函數(shù)選擇Sigmoid函數(shù)，即K(x;w，b)=1/(1+exp(-(w.x+b)))，隱層節(jié)點參數(shù)(w，b)分別在［-1，1］和［0，1］之間分別隨機選擇。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制方法中的徑向基函數(shù)選擇高斯基函數(shù)所有RBF網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點的中心矢量值分別按輸入值的有效映射范圍來取，即針對輸入為q時，取值范圍為［-1.5，1.5］，針對輸入為q.時，取值范圍為［-1，1］，基寬取值為0.1。

3.1 仿真一

應(yīng)用ELM對系統(tǒng)不確定項進行整體逼近，此時控制律取式(19)，參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)律取式(20)、式(21)。設(shè)計參數(shù)選擇為:控制增益矩陣Kv= diag{50，50}，Λ=diag{20，20}，λi=25，σi=0.4，ωi=5，i=1，2，ELM與RBF網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點個數(shù)均為L=25。控制的目標是使系統(tǒng)的輸出q1和q2分別跟蹤期望軌跡qd1=sin(t)和qd2=cos(t)。

從圖1及圖2中可以看出，與RBF控制器相比，當機器人系統(tǒng)存在模型不確定性、未知摩擦力和外界干擾，同時存在未知逼近誤差限的情況下，采用ELM網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的自適神經(jīng)應(yīng)控制算法取得了更好的軌跡跟蹤效果。

圖1 關(guān)節(jié)1位置跟蹤Fig.1 Position tracking of joint 1

圖2 關(guān)節(jié)2位置跟蹤Fig.2 Position tracking of joint 2

從圖3及圖4可以看出，在整個控制過程中，ELM控制器的控制輸入信號處于平滑有界狀態(tài)而沒有高頻抖振現(xiàn)象發(fā)生。從圖5及圖6中可看出，應(yīng)用ELM網(wǎng)絡(luò)進行整體逼近所設(shè)計的自適應(yīng)控制器具有更好的跟蹤性能，位置跟蹤誤差漸近收斂于零的一個很小的鄰域內(nèi)，與RBF控制算法相比，收斂速度更快。

圖3 關(guān)節(jié)1控制輸入Fig.3 Control input of joint 1

圖4 關(guān)節(jié)2控制輸入Fig.4 Control input of joint 2

圖5 關(guān)節(jié)1跟蹤誤差Fig.5 Tracking error of joint 1

圖6 關(guān)節(jié)2跟蹤誤差Fig.6 Tracking error of joint 2

3.2 仿真二

采用對不確定項分塊逼近的情況下，控制律取式(30)，參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)律取式(33)～式(40)。

設(shè)計參數(shù)選擇為:控制增益矩陣Kv=diag{50，σGi=0.02，σFi=0.02，i，j=1，2。每個ELM網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點個數(shù)均選取L=20。為進一步驗證ELM控制器的有效性，還與RBF控制器進行了仿真對比，每個RBF網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點個數(shù)均選取L=20。控制的目標是使系統(tǒng)的輸出q1和q2分別跟蹤期望軌跡和

從圖7及圖8中可以看出，當機器人系統(tǒng)存在模型不確定性、未知摩擦力和外界干擾時，且在逼近誤差限未知的情形下，與應(yīng)用ELM網(wǎng)絡(luò)對不確定項進行整體逼近相比，采用不同激活函數(shù)的ELM網(wǎng)絡(luò)對機器人系統(tǒng)不確定項進行分塊逼近時，具有更好的跟蹤性能，達到了預(yù)期的跟蹤效果。而且在同等條件下，與RBF網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制算法相比，ELM控制算法顯示出更好的跟蹤效果。

圖7 關(guān)節(jié)1位置跟蹤Fig.7 Position tracking of joint 1

圖8 關(guān)節(jié)2位置跟蹤Fig.8 Position tracking of joint 2

從圖9及圖10可以看出，在整個控制過程中，ELM控制器的控制輸入信號平滑有界。從圖11及圖12中可看出，與整體逼近的控制算法相比較，基于ELM的分塊逼近自適應(yīng)控制算法進一步提高了系統(tǒng)的控制精確度。上述仿真結(jié)果證實了所提出ELM控制器能很好地對不確定性機器人系統(tǒng)進行跟蹤控制，具有良好的跟蹤性能。

圖9 關(guān)節(jié)1控制輸入Fig.9 Control input of joint 1

圖10 關(guān)節(jié)2控制輸入Fig.10 Control input of joint 2

圖11 關(guān)節(jié)1跟蹤誤差Fig.11 Tracking error of joint 1

圖12 關(guān)節(jié)2跟蹤誤差Fig.12 Tracking error of joint 2

5 結(jié) 論

針對具有模型不確定性、未知摩擦力、外界擾動以及負載變化的剛性臂機器人系統(tǒng)，提出針對系統(tǒng)不確定項進行整體逼近與分塊逼近的兩種ELM自適應(yīng)神經(jīng)控制算法，利用ELM逼近系統(tǒng)的未知非線性函數(shù)，附加的魯棒控制項補償系統(tǒng)的逼近誤差。所獲得的兩種控制器均不依賴于初始條件的約束且放松對參數(shù)有界的要求。系統(tǒng)的自適應(yīng)控制律，ELM網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值及未知逼近誤差限的自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)律均是在基于Lyapunov穩(wěn)定性理論分析設(shè)計的基礎(chǔ)上得到，且兩種ELM控制算法均能保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及跟蹤誤差的最終一致有界。此外，分段設(shè)計的ELM網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)調(diào)節(jié)律還具有投影算子的特性，保證了權(quán)值有界。通過應(yīng)用于二自由度平面機器人的仿真實例驗證了ELM控制器的良好跟蹤性能，仿真結(jié)果表明了ELM自適應(yīng)控制算法的有效性和魯棒性。

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(編輯:劉素菊)

Adaptive tracking control of a rigid armrobot based on extreme learning machine

LIJun， NAIYong-qiang
(School of Automation and Electrical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，china)

Based on extreme learning machine(ELM)，two adaptive neural control algorithms for rigid arm robot system were presented.ELM for signle-hidden layer feedforward neural networks(SLFNs)，which randomly chooses hidden node parameters and analytically determines the outputweights of SLFNs，tends to provide good generalized performance at extremely fast learning speed.Within these adaptive control algorithms，ELM was employed to approximation the plant's unknown nonlinear function and robust control term was used to compensate for approximation error.Parameter adaptive laws and robust control term of ELM controllerswere derived based on Lyapunov stability analysis so that global stability and asymptotic convergence to zero of tracking errors can be guaranteed.Futhermore，two adaptive controllers do not depend on any parameter initialization conditions and relax the requirementof bounding parameter values.The proposed adaptive ELM control algorithmswere then applied to a tracking control instance for two-link rigid arm robot and compared with existing radial basis function(RBF)neural control algorithms.Simulation results show that ELM controllers have good tracking performance and demonstrate the effectiveness of the proposed control algorithms.

adaptive tracking control;extreme learning machine;signle-hidden layer feedforward neural networks(SLFNs);rigid arm robot;algorithm

10.15938/j.emc.2015.04.017

TP 273

A

1007-449X(2015)04-0106-11

2014-05-19

國家自然科學基金(51467008);甘肅省高等學校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金項目(620026)

李 軍(1969—)，男，博士，教授，研究方向為計算智能與系統(tǒng)建模、預(yù)測與控制;乃永強(1987—)，男，碩士研究生，研究方向為機器人建模與控制。

李 軍