基于改進Kriging代理模型的自適應序列優化算法在離心壓縮機蝸殼設計中的應用

曹安國，吳亞東，劉鵬寅，杜朝輝

（1.上海交通大學機械與動力工程學院，上海200240；2.上海交通大學航空航天學院，上海200240）

蝸殼是離心壓縮機的重要部件，其主要作用是把擴壓器或葉輪后的氣體輸送到排氣管道，并盡可能降低流體流動損失.蝸殼結構的優劣對葉輪工作有很大影響，在非設計工況下，蝸殼損失可直接導致離心壓縮機效率降低和穩定工作范圍變窄［1］，因此蝸殼的優化設計對提高離心壓縮機性能有著重要意義.

筆者基于改進Kriging模型發展了一種適用性更強的自適應序列優化算法，使用該算法在Matlab平臺上開發了相應的應用程序，結合UG 和Ansys構建了一套橢圓截面離心壓縮機蝸殼的氣動優化系統.基于該優化系統，針對某特定流量工況，以質量流量平均總壓損失系數為目標參數對離心壓縮機蝸殼系統模型進行了氣動優化設計.

1 基于改進Kriging代理模型的自適應序列優化算法

1.1 自適應序列優化算法

代理模型是工程優化中的關鍵技術，其使用方式大致可分為2種：單步優化算法和序列優化算法.單步優化算法的基本流程如圖1左圖所示，這種優化算法適應性較差，需要選擇不同大小的樣本點集進行反復嘗試.序列優化算法的基本流程如圖1右圖所示，這是一個不斷提高代理模型預測精度的過程，由于所選代理模型有無偏估計的特性，隨著設計空間中樣本點數的增加，顯然代理模型對真實響應預測的精度不斷提高.由于這種算法不需要對代理模型進行精度測試，所以對初始樣本的依賴性不高，適用性更強.

圖1 單步優化流程和序列優化流程Fig.1 Flow chart of the single step and sequential optimization

1.2 改進Kriging代理模型

Kriging模型［2］是基于隨機過程的統計預測方法，由一個參數化模型和一個非參數化隨機模型聯合構成，可廣泛用于擬合低階或高階非線性模型.它比單個的參數化模型更具靈活性，又克服了非參數化隨機模型處理高維數據的局限性，其有效性不依賴于隨機誤差的存在［3］.構建Kriging模型過程中，相關參數向量對Kriging 模型性能有著重要影響［4］，Lophaven提出的Kriging模型構建算法應用廣泛，它使用模式搜索算法［5］來確定相關參數.模式搜索算法是一種直接搜索的數值優化方法，它從給定的起始點開始，利用探測移動與模式移動完成尋優過程，其最大缺點是優化結果對起始點非常敏感，由它求解相關參數向量所構建的Kriging模型不一定是最佳的.因此，筆者對Kriging模型的構建算法加以改進，采用微種群遺傳算法取代模式搜索算法進行多變量尋優，從而得到相關參數向量.遺傳算法借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機制，具有全局尋優能力，只需影響搜索方向的目標函數和相應的適應度函數.相比傳統遺傳算法，微種群遺傳算法的種群更小，遺傳操作也采用選擇（錦標賽選擇）和交叉算子（均勻交叉，交叉概率為0.5），但是略去了變異操作.采用微種群遺傳算法比傳統遺傳算法的收斂速度更快，收斂精度也更高［6］.

序列優化算法中最重要的步驟是確定校正點的選擇準則，Samad等［7］將二次多項式響應面模型應用于壓氣機葉片設計，王曉峰等［8］采用Kriging模型進行了翼型的氣動優化設計，代理模型的校正點選擇都使用了響應最優準則.為了避免采用響應最優準則確定校正點帶來的局部收斂問題，Schonlau提出了高效全局優化（Efficient Global Optimization，EGO）算法.EGO 算法是一種貝葉斯全局優化算法［9］，它對校正點采用高精度初始模型評估，得到校正點的響應值，并采用期望提高函數來選擇校正點，同時考慮了Kriging模型的預測值與預測精度，具備了很好的平衡局部和全局搜索的能力，兼顧了收斂速度和全局收斂性，具有很強的自適應性.筆者將改進Kriging代理模型和該EGO 算法結合起來，提出了一種基于改進Kriging代理模型的自適應序列優化算法，在Matlab平臺上開發了相應的計算程序，并將該算法應用于離心壓縮機蝸殼的優化設計中.

2 離心壓縮機蝸殼三維氣動優化系統

前人的研究表明，蝸殼截面形狀對離心壓縮機性能有著顯著影響［10］.但蝸殼進出口幾何參數由于受到整個壓縮機機組尺寸的影響而不能隨意改變［11］，因此本文優化設計是在不改變蝸殼進出口幾何形狀的前提下通過改變蝸殼周向截面參數來實現的.

2.1 參數化建模

采用UG NX8.5軟件對橢圓截面蝸殼進行三維建模，利用UG 中的自定義表達式功能對蝸殼的三維幾何模型進行參數化表示.圖2為蝸殼的三維模型和二維截面圖.

圖2 離心壓縮機蝸殼的三維模型和周向截面Fig.2 3D model and circumferential cross section of the centrifugal compressor volute

由于蝸殼圓周方向各截面相似，均為橢圓加一個矩形進口的形狀，可以將三維參數化問題轉化為各個截面上的二維參數化問題.如圖2所示，將蝸殼周向每隔30°作一個截面，使用UG 的掃掠命令形成蝸殼的三維幾何結構.圖3（a）給出了截面參數示意圖，其中a＊表示橢圓長軸，b＊表示橢圓短軸，rz＊為橢圓中心高度（由a＊確定），b4為擴壓器出口寬度（該值已固定），r3為擴壓器出口半徑（該值已固定），dd為擴壓器出口到蝸殼進口的過渡距離，上述字符下標“＊”表示該參數為圓周方向參數.

圖3 蝸殼周向截面參數化示意圖和面積變化圖Fig.3 Parameterizing and area variation of the volute circumferential cross section

a＊和b＊2個參數確定每個截面，只需控制各截面a＊和b＊的值就可控制整個蝸殼形狀.由于圓周方向截面有12個，若將每個橢圓截面長軸和短軸直接作為優化變量，那么變量數將太多，不利于優化的進行.因此，定義新的變量λ與γ作為優化變量控制蝸殼的形狀變化，過程如下：取截面面積變化和橢圓長短軸之比作為變量，截面積與長短軸之比確定，a＊與b＊也隨之確定.采用圖3（b）中的控制點C來控制截面面積的變化，A點對應縱坐標值代表蝸殼周向30°截面面積，B點對應縱坐標值代表蝸殼周向360°截面面積，C點為取值在A點、B點之間的控制點（本文取C點的橫坐標為180°）.C點確定后，對上述3點按Bezier曲線擬合，就可以得到所需的周向角度位置處的截面面積，Bezier曲線表達式為：

式中：D（t）為Bezier曲線上任一點的坐標，t∈［0，1］；Pi為Bezier 曲線控制多邊形的頂點坐標；Bn，i（t）為Bernstein多項式函數，其表達式見式（2）.

將30°處截面面積與360°處截面面積分別作為Bezier曲線的起終點，并保證這2點固定不變，定義參數，，約束條件λ∈［0，1］，γ∈［0.7，1］，A、B、C表示這3點的縱坐標值（即截面面積），γ為長短軸之比.即通過優化變量λ來控制C點，確定了各個截面面積大小后，通過γ確定各個截面長短軸的比例，蝸殼12 個截面形狀也就隨之確定，這樣就完成了參數化造型所需的參數設置.

2.2 優化系統的開發與集成

實現氣動優化設計的關鍵是三維參數化模型、網格生成器ICEM-CFD、CFD 求解器CFX-Solver和基于改進Kriging代理模型的自適應序列優化算法之間的數據集成和過程集成.數據集成完成了各個軟件之間數據的靜態傳遞，而氣動優化過程是一個反復迭代尋優的過程，因此在氣動優化設計中需要將各個模塊過程集成，并且要盡量避免對優化過程的人工干預，以加快尋優速度和減小尋優過程的出錯概率.圖4給出了數據集成過程圖.

圖4 氣動優化系統的集成Fig.4 Integration of the CFD optimization system

2.3 網格生成與蝸殼的CFD 評價

采用商業計算流體力學軟件Ansys ICEM 和CFX 來實現網格的自動生成和流動的CFD 計算.為保證計算的準確性，計算域包含2部分，分別是蝸殼部分和有葉擴壓器部分.為提高計算效率，蝸殼部分采用結構化網格，有葉擴壓器部分采用非結構化網格，優化系統中每次循環用于計算的蝸殼網格數為270 萬左右.優化進程中，湍流模型采用k-ε模型，流體為理想空氣，參考壓力為101 325Pa.進口邊界（即擴壓器進口）設置為流量進口，方向按照圓柱坐標系給定，出口邊界條件設置為給定均勻靜壓，壁面采用絕熱光滑無滑移邊界條件，收斂標準設定為最大殘差小于10-4.

3 離心壓縮機蝸殼優化

蝸殼全局性能可通過總壓損失系數ω和靜壓恢復系數Cp［12］得到較好的定義，將總壓損失系數作為優化目標變量，并同時探究優化后模型靜壓恢復系數的優劣，二者定義如下：

離心壓縮機蝸殼系統中總壓損失越小，表明蝸殼性能越好，因此本文的優化問題即可表征為：在λ∈［0，1］和γ∈［0.7，1］范圍內尋求最佳的λ與γ，使總壓損失系數最小.

3.1 優化系統響應

經過30次循環調用CFD 程序，蝸殼的總壓損失系數最小值不再有大的變化.圖5給出了優化前后蝸殼周向截面面積分布對比圖.從圖5可以看出，優化后的蝸殼周向截面面積分布更接近線性分布.

圖5 優化前后蝸殼周向截面面積分布Fig.5 Area distribution of the volute circumferential cross section before and after optimization

3.2 優化前后氣動性能和內部流場

表1給出了優化前后蝸殼出口處質量流量平均總壓損失系數和靜壓恢復系數.由表1可知，優化后蝸殼出口處質量流量平均總壓損失系數減小，靜壓恢復系數增大.由此可以看出，優化后蝸殼對壓縮機性能有提高的趨勢，基本達到優化目的.

表1 優化前后總壓損失系數和靜壓恢復系數Tab.1 Comparison of total pressure loss and static pressure recovery coefficient before and after optimization

圖6（a）和圖6（b）顯示了總壓損失系數在不同周向截面的分布情況.除了在接近渦舌部分外，截面中的渦中心位置ω都較大，這是由于渦心剪切力較大造成的.但靠近蝸舌的截面中，ω的分布中不存在剛性渦結構，這是因為在靠近相對蝸殼進口的內側壁面總壓損失有很高的值，優化前的這一現象最為明顯，優化后總壓損失系數得到一定改善.

圖6（c）和圖6（d）顯示了靜壓恢復系數在不同周向截面的分布情況.由于受到角動量和離心力的影響，蝸殼內的靜壓分布在截面內沒有形成漩渦，蝸殼內側壁面壓力相對外側較高.優化前靜壓恢復系數在180°和270°截面較大，在360°截面較小.優化后靜壓恢復系數在90°截面很大，在中間截面較小，但在360°截面靜壓恢復系數上升較快.

圖6 總壓損失系數和靜壓恢復系數分布圖Fig.6 Distribution of total pressure loss and static pressure recovery coefficient in different circumferential sections

4 結 論

（1）給出了Kriging模型的基本理論，采用微種群遺傳算法取代傳統遺傳算法對Kriging模型進行多變量尋優，得到相關參數向量，完成了對Kriging模型的改進.

（2）對離心壓縮機蝸殼系統的周向截面面積分布進行Bezier曲線的參數化，采用一個控制點使得設計變量幾何約束的施加變得更便利.在UG 中建立了參數化模型，通過UG 的表達式功能實現了模型控制變量的參數化.

（3）對離心壓縮機蝸殼進行優化設計后，蝸殼的質量流量平均總壓損失系數減小，而質量流量平均靜壓恢復系數增大，蝸殼的性能指標得到一定優化，達到了優化蝸殼的目的.

（4）從優化過程和優化結果來看，所提出的針對離心蝸殼系統的優化設計平臺是有效的，能在較短的優化周期內使優化目標得到提高，并且該平臺還可以推廣到其他相關的優化設計問題中.

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