古典概型和幾何概型

王盛

古典概型和幾何概型都是特殊的隨機事件概率模型，是高考常考的知識點.高考試卷中，古典概型和幾何概型常以選擇題、填空題的形式出現，有時也有解答題，屬中、低檔題目；理科絕大多數與排列組合、分布列、期望、方差、平面幾何、函數、向量等一起綜合考查.

重點難點

重點：明確古典概型的等可能性和有限性；明確幾何概型的等可能性和無限性. 會靈活應用古典概型和幾何概型的概率計算公式，特別是古典概型中，文科學生主要掌握借助表格、樹形圖用列舉法求解概率；理科學生更應掌握用排列組合、獨立重復事件、二項分布、對立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式等方法求概率.

？搖難點：要會區分問題是古典概型或幾何概型；慎重對待基本事件的等可能性，注意要恰當地分類，并做到試驗包含的基本事件不重不漏；選擇合適的方法和測度解決概率問題，特別要分清問題是“放回”還是“不放回”，是“有序”還是“無序”.

方法突破

（1）對簡單的概率問題要能迅速判斷出是哪種類型的概率問題，再套用公式解決.

（2）對古典概型，要會用列舉法，借助表格、樹形圖等寫出所有基本事件和所求事件包含的基本事件. 求古典概型的一般方法和步驟如下：

①判斷試驗是否為等可能性事件，并用字母表示所求事件.

②計算基本事件的個數n及事件A中所包含的基本事件的個數m.

③計算事件A的概率P（A）=■.

（3）對幾何概型，要根據題意判斷是直線型、面積型、體積型還是角度型.判斷的關鍵是看它是不是等可能的，也就是點是不是均勻分布的.求解的關鍵是要注意古典概型與幾何概型的區別（基本事件的有限性和無限性），構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率.

（4）要注意古典概型、幾何概型與其他知識的聯系，根據問題的特點，聯想相關知識，找到所求事件滿足的條件.

典例精講

一、幾種幾何概型的辨別

1. 長度型幾何概型

■例1 在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM

思索 記“AM

破解 P（A）=■=■=■=■.

2. 角度型幾何概型

■例2 如圖1，在等腰直角三角形ABC中， 過直角頂點C在∠ACB內部任作一條射線，與線段AB交于點M，求AM

■

圖1

思索 這是與例題形式質異的幾何概型問題. 記“AM

破解 在等腰直角三角形ABC中，∠CAC′=■. 又AC′=AC，所以得∠ACC′=■，即P（B）=■=■=■=■.

3. 面積型幾何概型

■例3 如圖2，在等腰直角三角形ABC中，C為直角頂點，在三角形內取點P，連結CP交AB于M，求AM

■

圖2

思索 這是與例題形式質異的幾何概型問題. 記“AM

破解 在等腰直角三角形ABC中，∠CAC′=45°. 令AC=1，則P（C）=■=■=■.

二、古典概型與幾何概型的辨別

■例4 （1）在[0，10]中任取一個整數，求它與2的和小于5的概率；

（2）在[0，10]中任取一個數，求它與2的和小于5的概率；

（3）從[0，10]中隨機取兩個數，求這兩數之和大于12的概率；

（4）在[0，10]中隨機取三個數，求使得任意兩數之和大于第三個數的概率.

思索 題（1）中基本事件的個數為11個，且是等可能的，故為古典概型；題（2）中基本事件的個數是無限的，其可看成在長度為10的線段上取點，故為幾何概型；與題（2）不同，盡管題（3）中基本事件的個數是無限的，是在線段上隨機取點，但兩點間的距離值不是等可能的，故不能用線段的長度作為測度進行概率計算，而應該引進兩個變量解決；由題（3）可知，題（4）應該引進三個變量解決.

破解 （1）記“在[0，10]中任取一個整數，與2的和小于5”為事件A，則P（A）=■.

（2）記“在[0，10]中任取一個數，與2的和小于5”為事件B，則P（B）=■.

（3）設x，y為[0，10]上的任意兩個數，等價于在平面直角坐標系內，作出點（x，y），如圖3，記“在[0，10]中隨機取兩個數，這兩數之和大于12”為事件C，則事件C所包含的區域應滿足0≤x≤10，0≤y≤10，x+y≥12，則P（C）=■=■.

（4）在[0，10]上隨機取三個數，等價于在空間直角坐標系內，作出點（x，y，z），如圖4，記“在[0，10]上隨機取三個數，任意兩數之和大于第三個數”為事件D，則事件D所包含的區域應滿足x+y>z，y+z>x，x+z>y，則P（D）=■=■=■.

■

圖3 圖4

三、有放回抽樣和無放回抽樣的區別

■例5 現有一批產品共3件，其中2件是正品，1件次品.

（1）從中一次取出2件，求2件都是正品的概率；

（2）如果從中取出1件，然后放回，再任取1件，求兩次取出的都是正品的概率.

思索 本例不僅有“有序”與“無序”的區別，還有”有放回”和“無放回”的區別. 在基本事件個數不是很多的情況下，都可以用列表或樹形圖的方式逐一列出.

破解 將2件正品分別記為正1、正2.

（1）一次取出2件產品，所有的基本事件為（正1，正2），（正1，次），（正2，次），共3個，且所有的基本事件都是等可能的，其中事件“2件都是正品”所包含的基本事件只有1個，故所求事件的概率為■.

（2）從中取出1件放回后再取1件，所有的基本事件為（正1，正1），（正1，正2），（正1，次），（正2，正1），（正2，正2），（正2，次），（次，正1），（次，正2），（次，次），共9個，且所有的基本事件都是等可能的，其中事件“兩次取出的都是正品”所包含的基本事件共4個，故所求事件的概率為■.

■例6 某市公租房的房源位于A，B，C三個片區. 設每位申請人只申請其中一個片區的房源，且申請其中任意一個片區的房源是等可能的，求該市的任4位申請人中：

（1）沒有人申請A片區房源的概率；

（2）每個片區的房源都有人申請的概率.

思索 利用古典概型的概率計算公式計算即可.

破解 （1）所有可能的申請方式共有34種，而“沒有人申請A片區房源”的申請方式有24種，記“沒有人申請A片區房源”為事件A，則P（A）=■=■.

（2）所有可能的申請方式有34種，而“每個片區的房源都有人申請”的申請方式有C■■A■■種，記“每個片區的房源都有人申請”為事件B，從而有P（B）=■=■.

變式練習

1. 已知A={a，b，c，d}，B={1，2，3，4}，A=B，則（a-1）（b-2）（c-3）（d-4）≠0的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

2. 設不等式組0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面區域為D，在區域D內隨機取一個點P，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（ ）

A. ■ B. ■

C. ■ D. ■

3. 如圖5，在矩形區域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設其信號覆蓋范圍分別是扇形區域ADE和扇形區域CBF（該矩形區域內無其他信號來源， 基站工作正常）. 若在該矩形區域內隨機地選一地點， 則該地點無信號的概率是（ ）

■

圖5

A. 1-■ B. ■-1

C. 2-■ D. ■

4. 已知函數f（x）=ax2-2bx+a（a，b∈R）.

（1）若a是從集合{0，1，2，3}中任取的一個元素，b是從集合{0，1，2，3}中任取的一個元素，求方程f（x）=0恰有兩個不等實根的概率；

（2）若a是從區間[0，2]中任取的一個數，b是從區間[0，3]中任取的一個數，求方程f（x）=0沒有實根的概率.

5. 已知向量a=（2，1），b=（x，y）.

（1）若x∈{-1，0，1}，y∈{-2，-1，2}，求向量a⊥b的概率；

（2）若用計算機產生的隨機二元數組（x，y）構成區域Ω：-1

參考答案

1. B 2. D

3. A

4. （1）a是取自集合{0，1，2，3}中的任意一個元素，b是取自集合{0，1，2，3}中的任意一個元素，則a，b的取值情況是：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）.其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值，即基本事件總數為16.設“方程f（x）=0恰有兩個不相等的實根”為事件A，當a≥0，b≥0時，方程f（x）=0恰有兩個不相等的實數根的充要條件是a≠0，Δ>0？圳b>a且a≠0. 此時a，b的取值情況有：（1，2），（1，3），（2，3），即事件A包含的基本事件數為3. 所以方程f（x）=0恰有兩個不相等的實數根的概率為P（A）=■.

（2）因為a是從區間[0，2]中任取的一個數，b是從區間[0，3]中任取的一個數，則試驗的全部結果構成區域{（a，b）0≤a≤2，0≤b≤3}，這是一個矩形區域，其面積SΩ=2×3=6. 設“方程f（x）=0沒有實根”為事件B，則事件B所構成的區域為{（a，b）0≤a≤2，0≤b≤3，a>b}，其面積SM=■×2×2=2.由幾何概型的概率計算公式可得方程f（x）=0沒有實數根的概率為P（B）=■=■.

5. （1）從x∈{-1，0，1}，y∈{-2，-1，

2}取兩個數x，y的基本事件有：（-1，-2），（-1，-1），（-1，2），（0，-2），（0，-1），（0，2），（1，-2），（1，-1），（1，2），共9種. 設“向量a⊥b”為事件A，若向量a⊥b，則2x+y=0. 所以事件A包含的基本事件有：（-1，2），（1，-2），共2種. 所以所求事件的概率P（A）=■.？搖

（2）二元數組（x，y）構成區域Ω={（x，y）-1