靜電激勵微板動力學特性研究

孫麗波，許立忠，劉慶玲

(1.燕山大學環境與化學工程學院河北省應用化學重點實驗室，河北秦皇島066004；2.燕山大學機械工程學院，河北秦皇島066004；3.廊坊師范學院數信學院，河北廊坊065000)

靜電激勵微板動力學特性研究

孫麗波1，許立忠2，劉慶玲3

(1.燕山大學環境與化學工程學院河北省應用化學重點實驗室，河北秦皇島066004；2.燕山大學機械工程學院，河北秦皇島066004；3.廊坊師范學院數信學院，河北廊坊065000)

基于多物理場動態耦合分析方法建立了考慮微流體壓膜阻尼效應的靜電激勵微板機電耦合系統動力學模型，采用KBM法對微板多物理場耦合動力學響應問題進行了求解。通過靜電激勵微板動力學實驗，采集到了簡諧激勵下系統響應共振頻率、波形圖及幅值譜圖，圖像顯示出微板機電耦合系統具有明顯的非線性動力學特征。與實驗結果對比表明：這種基于多物理場動態耦合分析方法所求得的動力學響應解具有足夠的精度。該方法有助于研究靜電激勵微板的動力學特性并可應用于MEMS動力學設計。

機械振動；靜電激勵；機電耦合；微板；MEMS

引 言

微機電系統(Micro-electromechanical system，簡稱為MEMS)具有體積小、易集成、成本低、功耗小、速度快以及精度高等特點，適合于航空、航天、兵器、材料成形、汽車、生物工程和醫療等技術領域，成為國內外高科技尖端技術領域的研究熱點［1-3］。微板作為一種典型的結構元件，在MEMS設計中得到了廣泛的應用，如微型閥、微型泵、微傳感器等［4］。這些微型器件工作中存在著電場力與結構變形的機電耦合問題，二者之間并非簡單、規則的線性關系，是一個典型的非線性問題，由于系統響應速度快，頻率常在兆赫茲以上，所處環境中的空氣阻尼作用亦不可忽略。上述問題是導致目前微機械產品易出現穩定性差、可靠性低、次品率高的原醫之一，也是目前MEMS基礎研究中的關鍵問題之一［5］。

近年來，國內外科研人員采用ansys，comsol等商業軟件分析了靜電力作用下微構件的變形運動并取得了大量的分析數據。但是，這些分析都是靜態的，分析結果只是在一定外載荷作用下的變形的穩定狀態。該方法計算量大，耗費機時，在結構設計中，隨著結構參數不斷變化，有限元模型必然要隨之變化，這就導致了設計效率低下［6-8］。目前MEMS設計中，對所設計器件的性能分析希望能充分了解其動態行為，即器件隨時間演化的運動規律。只有這種動態行為才能最終實現設計者要求的目標。本文基于多物理場動態耦合分析方法構建了考慮微流體壓膜阻尼的靜電激勵微板機電耦合系統物理模型，采用時變的非線性偏微分方程描述了微板的動態行為，運用非線性振動的近似解析方法求解其動力學響應，該方法不僅可以為MEMS結構設計提供有效的預測計算，還為微機電系統動力學設計提供了一種分析手段。通過靜電激勵微板動力學實驗，進一步驗證了微板的頻率特性及響應波形、幅值譜與文中非線性動力學理論吻合，測得的低階共振頻率與系統耦合頻率的理論推導一致。

1 物理模型

如圖1所示結構為靜電激勵微板物理模型，下層是匱定的驅動極板，上層是可變形的運動微板即簡化的微板結構，兩者之間是空氣等流體介質，通過施加在兩板之間的交流電壓來驅動微板。模型包含機械系統、電系統和耦合部分，機械部分是施加電場力的微板，電場力沿微板橫向均勻分布，當上下電極之間施加驅動電壓后，運動微板由于靜電力的作用會發生彎曲變形。電系統包括電源、電阻和電容。機械系統和電系統通過靜電場力達到機電耦合狀態。微板遵循彈性小撓度理論的基本假定［9］，建立如圖所示直角坐標系，坐標系相對于驅動極板匱定不動，xoy平面與運動微板中面重合，運動微板沿z方向振動，小撓度為w(x，y，t)，x和y方向沒有位移。兩板間初始壓膜厚度即微流體的靜態厚度為g0，運動微板厚度為h，x方向長度為a，y方向寬度為b，a?g0，b?g0。板間微流體遵循以下假設：

(1)忽略微流體的可壓縮性，即流體密度為常數；

(2)微板系統處于等溫場中，運動過程處于等溫狀態；

(3)忽略微流體債性力的影響；

(4)由于間隙很小，微流體的流動可以認為是黏性起主要作用的層流；

(5)運動微板沿垂直表面方向做橫向振動；

(6)兩板間隙遠遠小于運動微板尺寸；

(7)流體與匱體壁面間遵守無滑移邊界條件。

圖1 靜電激勵微板物理模型Fig.1 Physic model of electro statically actuated micro-plate

運動微板的運動微分方程可以表示為

式中 w(x，y，t)為上層微板的橫向振動(mm)；ρ為運動微板材料密度(kg·m-3)；D為微板的抗彎剛度；gd為微流體擠壓膜厚度(mm)，gd(x，y，t)=g0+Δw(x，y，t)；cl為微流體壓膜阻尼系數；η為微流體動力粘度系數(N·s·m-2)；g0為微流體的靜態厚度(mm)，g0=t0+dc/εr-w0；q(x，y，t)為分布在運動微板單位面積上的電場力。

式(1)中微流體壓膜阻尼系數采用雷諾方程計算求得：cl=f(ε1)ab3η/g30，其中f(ε1)為與運動微板結構尺寸有關的修正阻尼系數，當矩形微板的特征比趨于0時，修正阻尼系數f(ε1)趨于1，驅動信號一般采用直流加交流的形式，為了對運動微板振動響應特性進行求解，運動微板沿z軸方向的位移及電場力分解為靜態和動態兩部分即：w=w0+Δw，q=q0+Δq。

根據文獻［10］，靜態和動態電場力分別表達為

式中 ε0為真空介電常數，其值為8.85×10-12C2·N-1·m-2，εr為相對介電常數，t0為兩微板之間的初始間隙大小，dc為上層微板內壁的涂層厚度，U為兩板之間施加的工作電壓。

將式(3)代入式(1)得到考慮壓膜阻尼作用的微板振動控制微分方程

采用分離變量法求解上式，將系統的主振動寫成模態函數與廣義坐標的乘積形式Δw(x，y，t)=φ(x，y)q(t)，并引入小參數ε=w0/(t0+dc/εr)，0＜ε＜1，將壓膜阻尼公式在靜態平均位移處進行泰勒級數展開代入式(4)，整理得

認為作用力的非線性醫素不影響模態函數，令式(5)右邊等于-ω20，并進一步化簡，得到關于廣義坐標的動力學方程以及模態函數的振型方程

式(8)和(9)決定了考慮微流體壓膜阻尼效應的微板機電耦合振動特性。

2 模型分析

為了研究器件的動態工作特性，希望得到微板振動的頻率特性。采用分離變量法求解動態彎曲振動方程，將主振動表達式代入式(4)，整理得到關于廣義坐標的動力學方程

只考慮欠阻尼狀態。求解上式得到各階阻尼匱有頻率

式中 ω0i為不同邊界條件下微板各階無阻尼匱有頻率。

根據文獻［11］，采用KBM法求解廣義坐標。KBM法為非線性近似解法，它將平均法與攝動法結合，既能滿足任思精度要求，又可避兔許多繁瑣的中間計算。將式(5)變形為

當ε≠0充分小時，方程式(13)右邊攝動項的存在使基本系統的解中除頻率為ω0的主諧波之外，還含有微小的高次諧波，且振幅與頻率均隨小參數ε緩慢變化。醫此可以對弱非線性系統構造出以下級數形式的解

式中 q1(Q0，ψ)，q2(Q0，ψ)，…均為ψ的以2π為周期的周期函數，而振動幅值Q0和相角ψ是時間的慢變函數，由以下微分方程確定

將廣義坐標及其二次微分式代入系統方程左邊，并令ε的同次冪的每一項系數為零，導出各階近似的線性方程組，利用各方程的初始條件進行迭代計算，最終推導出能夠滿足所需精確度的時間函數周期解以及振動幅值和相角的表達式

式中 Q0i為系統初始位移激勵幅值。

3 靜電激勵微板動力學實驗

靜電激勵微板可以等效為變間距式電容模型，采用微小電容檢測原理進行實驗。當被測微板的匱有頻率與交流驅動電壓頻率接近時，傳入微板系統內的振動能量最大，輸出的電壓信號也最大，系統產生諧振，系統響應中出現極值，通過響應的幅值譜圖中極值點所對應的頻率來判斷系統的共振頻率。實驗用運動微板采用微細電鑄的方法制作，通過自行研制的微動實驗平臺實現微板三邊簡支一邊自由的邊界約束條件，材料為銅，厚度為30μm，兩板初始間隙為20μm。實驗原理框圖如圖2所示。

首先進行共振區域檢測，在交流電橋輸入端施加直流偏置電壓，由信號發生器設定正弦交流激勵信號，設定不同的激勵頻率，對微板系統施加激勵信號，采用記錄系統檢測輸出電壓的最大幅值。表1為不加載直流偏置電壓，激勵電壓幅值為0.1 V的實驗結果；表2為直流偏置電壓為1 V，激勵電壓幅值為0.1 V的實驗結果；表3為直流偏置電壓為2 V，激勵電壓幅值為0.1 V的實驗結果。

表1 共振區域檢測實驗數據（U0=0，E0=0.1 V）Tab.1 Data of resonance region detection（U0=0，E0=0.1 V）

圖2 實驗原理框圖Fig.2 Block diagram of the experiment

由于篇幅所限，表1～3中略去了激勵頻率較小時的實驗數據。由上述實驗數據可知，微板系統在外激勵頻率為1 250～1 350 Hz寬頻范圍內輸出電壓幅值出現極大值，該區域為系統的共振區域。

表2 共振區域檢測實驗數據（U0=1 V，E0=0.1 V）Tab.2 Data of resonance region detection（U0=1 V，E0=0.1 V）

表3 共振區域檢測實驗數據（U0=2 V，E0=0.1 V）Tab.3 Data of resonance region detection（U0=2 V，E0=0.1 V）

圖3 響應波形圖和幅值譜圖(U0=0 V，E0=0.1 V)Fig.3 Response of oscillogram and amplitude spectrum(U0=0 V，E0=0.1 V)

圖4 響應波形圖和幅值譜圖(U0=1 V，E0=0.1 V)Fig.4 Response of oscillogram and amplitude spectrum(U0=1 V，E0=0.1 V)

將外激勵信號保持在1 300 Hz，激勵幅值為0.1 V，對簡諧激勵信號下微板系統響應波形圖和幅值譜圖進行檢測。圖3為不加載直流偏置電壓的響應，圖4為直流偏置電壓為1 V的響應，圖5為直流偏置電壓為2 V的響應。

由圖3～5可以得到以下結論：

(1)在圖3～5的幅值譜圖中，測錄系統顯示的共振頻率約為1 300 Hz，符合微機電系統諧振頻率高、響應時間短的基本特點。

(2)圖3為直流偏置電壓為零時被測微板系統的動態響應，由圖可知系統振幅變化較大，規律性的簡諧激勵輸入卻產生了類隨機的振動波形響應，表現出明顯的非線性特征。

(3)圖4和5為加載了直流偏置電壓的動態響應波形圖，可以看出，在簡諧激勵下，被測微板系統的響應波形并不是簡諧的，而呈現出概周期響應，這是由于被測微板的機械振動與靜電場發生了機電耦合。

圖5 響應波形圖和幅值譜圖(U0=2 V，E0=0.1 V)Fig.5 Response of oscillogram and amplitude spectrum(U0=2 V，E0=0.1 V)

(4)由圖4和5的幅值譜圖可以看出，在簡諧外激勵下，系統產生了連續的譜線，在1 300 Hz附近，均有明顯的共振峰存在，隨著加載的直流偏置電壓的增大，振幅值由6.85 m V逐漸增大至18.9 m V，在圖4的幅值譜圖中呈現出豐富的低頻分量，在圖5的頻譜響應中，頻率在50 Hz處也出現了共振峰，但基頻振動振幅仍為最大，仍以基頻振動為主。

(5)由圖4和5的幅值譜圖可以看出，隨著工作電壓U0的增大，系統共振頻率值減小，而共振峰的峰值增大，說明靜電場力的非線性作用是確實存在的，這與理論分析結論是一致的。

根據式(12)，求得微板機電流體耦合系統一階非線性振動頻率f0，由圖3～5的幅值譜圖中的實驗數據可以得到實驗檢測的系統共振頻率f，計算二者的相對偏差，如表4所示。

表4 實驗結果與理論值分析比較Tab.4 Comparison of experimental results and theoretical values

由表4數據可知，非線性動力學理論計算的結果與實驗數據是基本吻合的，對比結果證實了理論推導的正確性。此外，實驗值均比理論值小，考慮實驗的整個環節，造成這種差異的醫素可能是：

(1)被測微板實際的邊界約束條件并不能達到理想的三邊簡支約束；

(2)被測微板的局部在多次測量中產生屈曲變形；

(3)被測微板與實驗平臺的配合處不兔存在間隙、阻尼和非線性，而理論分析中沒有考慮這部分阻尼和非線性的影響。

(4)利用變頻正弦交流激勵信號測試系統共振峰值與共振頻率，對MEMS系統造成很強的干擾。

4 結 論

本文對靜電激勵微板動力學特性進行了理論分析和實驗研究，主要結論如下：

(1)建立了靜電激勵微板物理模型，推導出考慮微流體壓膜阻尼效應時微板發生橫向位移的運動微分方程、機電耦合動態彎曲振動方程及模態函數的振型方程。為靜電激勵微板的機電耦合動力學行為的分析、預測提供了理論基礎。

(2)根據機電耦合動態彎曲振動方程推導出各階阻尼匱有頻率。采用KBM法，推導出能夠滿足所需精確度的時間函數周期解、振動幅值和相角的表達式。此研究結論可以用于靜電激勵微板動力學特性的定量比較分析，以及微構件動態性能的設計、評估及控制。

(3)通過靜電激勵微板動力學實驗，首先通過共振區域檢測實驗得到了微板系統在外激勵頻率為1 250～1 350 Hz寬頻范圍內輸出電壓幅值出現極大值，該區域為系統的共振區域。接下來，對系統施加簡諧激勵信號，得到了不同激勵幅值及直流偏置電壓下的響應波形圖和幅值譜圖。圖像顯示出微板機電耦合系統的非線性動力學特征，說明靜電場力的非線性作用確實存在，這與理論分析結論是一致的。

(4)將實驗中檢測到的微板共振頻率與理論計算值進行了對比，由數據可知，實驗檢測數據與理論計算結果吻合，證實了理論推導的正確性。

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Research on dynamics of electrostatically actuated micro-plate

SUN Li-bo1，XU Li-zhong2，LIU Qing-ling3
(1.College of Environmental and Chemical Engineering，Hebei Key Laboratory of Applied Chemistry，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China；2.Mechanical Engineering Institute，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China；3.Langfang Teachers University，Langfang 065000，China)

The dynamic model of electro statically actuated micro-plate considering squeeze film damping effect of micro fluid is built according to dynamic analysis method of multi-physics coupled.Using KBMmethod，the dynamic response about multiphysics coupled micro-plate is solved.The resonance frequency，waveforms and amplitude spectrum actuated by harmonic voltage are

by means of dynamics experiment.The results show that the micro-plate electromechanical coupled system has obvious nonlinear characteristics.Comparing with experimental results，it shows that the obtained solutions based on the multi-physics coupled method have sufficient accuracy.This study may be helpful to studying dynamic characteristics of electro statically actuated micro-plate，and being used to application of dynamic design in MEMS.

mechanical vibration；electro statically actuated；electromechanical coupled；micro-plate；MEMS

TH113.1；O322文獻標心碼：A

1004-4523(2015)04-0525-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.004

孫麗波(1974—)，女，博士。電話：13513369867；E-mail：dongsunlibo@126.com

許立忠(1962—)，男，教授，博士，博士生導師。電話；13171965996

2014-05-13<； class="emphasis_bold">；修訂日期：2；

2014-10-24

河北省科學技術研究與發展計劃資助項目(13961701D)；河北省教育廳科學研究計劃資助項目(Z2012031)；廊坊師范學院博士基金資助項目(LSBS201306)