氣囊-浮筏耦合船用轉子-軸承系統的非線性動力學研究

李 明，趙 文，何 琳

(1.西安科技大學力學系，陜西西安710054；2.海軍工程大學振動與噪聲研究所，湖北武漢430033)

氣囊-浮筏耦合船用轉子-軸承系統的非線性動力學研究

李 明1，趙 文1，何 琳2

(1.西安科技大學力學系，陜西西安710054；2.海軍工程大學振動與噪聲研究所，湖北武漢430033)

討論了氣囊-浮筏耦合的船用轉子-軸承系統的動力學建模以及其非線性動力學特性。首先，基于短軸承理論，建立了氣囊-浮筏的轉子-軸承系統的動力學模型。采用數值分析的方法，分析了系統的非線性動力學行為，如穩態響應、軸心軌跡、Poincaré映射、分岔圖以及最大Lyapunov指數等。研究結果表明，在較低轉速下，系統會呈現單周期運動，隨著轉速的不斷增大，系統出現單周期、倍周期、擬周期和混沌等復雜的非線性動力學行為，這些動力學特性可以為氣囊-浮筏耦合船用轉子-軸承系統的振動控制及其參數優化提供理論依據。

氣囊-浮筏；船用轉子系統；短軸承；非線性振動；動力學特性

引 言

近年來，船用機械系統的隔振減噪問題備受關注［1］。為了降低艦船動力設備與船體之間能量的傳遞，通常在動力裝置(設備)和基座(基礎)之間安裝各類隔振系統，其中浮筏隔振裝置由于其結構緊湊，同時又能有效地降低振動能量的傳遞，因此被廣泛應用于艦艇機械系統的減振降噪之中［2-3］。

在有關浮筏隔振系統的動力學研究中，文獻［4］利用大型浮筏隔振系統中的筏架作為中間質量塊以實現控制系統振動能量傳遞，重點分析了大型筏架隔振系統上下層支撐邊界特性對其振型及頻率的影響；文獻［5］基于有限元法建立了具有柔性基礎的隔振系統動力學模型，主要討論了系統主動控制的時滯及穩定性問題；文獻［6］則將氣囊隔振器應用于船舶主機的隔振中，結果顯示氣囊隔振系統能較大幅度地減小主機激振力向船體基座能量的傳遞。文獻［7］推導了筏架和基礎均為彈性體的浮筏動力學方程，分析了隔振器的非線性剛度對系統動態特性的影響，并且比較了線性和非線性柔性浮筏隔振系統其動力學特性的差異。本文作者建立了具有氣囊-浮筏隔振裝置的非線性動力學模型，并討論系統穩態響應［8］。另一方面，在有關柔性支承的轉子-軸承系統非線性動力學研究領域，文獻［9］基于有限元方法，分析了航空發電機柔性轉子系統動力學平衡問題，利用模態分析以及計算出的臨界轉速，探討了不同轉速下轉子的動力學運動特性，并通過實驗對數值計算的結果進行驗證；文獻［10］研究了滑動軸承支撐的雙柔性轉子系統的分岔行為，并且著重分析了不同物理參數對轉子-軸承系統的動力學行為的影響；文獻［11］探討了長軸承支承下多跨轉子系統的動力學特性，重點分析了不同類型軸承在水平和垂直方向的動態振動響應；文獻［12］討論了非線性油膜力作用下的柔性轉子系統動力學問題，而文獻［13］則建立了彈性支撐滑動軸承的Jeffcott轉子的動力學模型，研究了具有彈性支撐滑動軸承-轉子系統的動力穩定性問題；文獻［14］考慮了氣膜壓力與彈性支承對高速氣體潤滑軸承-轉子系統振動特性的影響。

上述研究主要討論了浮筏隔振系統的動力學特性、動力學控制問題和具有彈性支承的轉子-軸承系統的非線性動力學行為，而目前關于具有氣囊-浮筏耦合的轉子-軸承系統非線性動力學的相關問題研究較少。本文的主要目的是討論氣囊-浮筏耦合船用轉子-軸子系統的動力學建模，重點分析系統的非線性動力學行為，從而為船用轉子-軸承系統的振動控制及參數優化提供理論依據。

1 氣囊-浮筏耦合轉子-軸承系統動力學模型

1.1 運動方程

圖1所示為氣囊-浮筏耦合的船用轉子-軸承系統示意圖。其中軸承支座和浮筏可以看作是一個具有完整單元的質量塊，即視為“筏架”，氣囊則簡化為具有一定剛度和阻尼的彈簧，圓盤、軸承支座以及浮筏可視為剛體。

圖1 氣囊-浮筏耦合的船用轉子-軸承系統示意圖Fig.1 The schematic diagram of rotor-bearing system coupled by air bag-floating

基于短軸承理論，考慮系統的切向和垂向的運動，這樣轉子和浮筏的運動可以用4個自由度來描述。根據牛頓第二定律，系統的運動微分方程可表示為

式中 m1為圓盤質量，m2為浮筏及支座質量，e為偏心距，Ω為轉速，k為彈簧剛度，d為切向和垂向阻尼，Fx和Fy分別為軸承的非線性油膜力。

1.2 非線性油膜力

船用柴油機主要采用滑動軸承支承，因此涉及到軸承油膜力的計算問題，軸承結構及受力如圖2所示，其中xoy為定系。然而關于非線性油膜力作用下轉子-軸承系統的動力學分析是一個十分復雜的流固耦合 問 題。國 內 外學 者［15-18］針 對 不 同 結 構形式滑動軸承的非線性油膜力進行了大量的研究，大部分油膜力模型都是在一定的假設條件下對雷諾方程求解得到。本文基于短軸承理論，即當軸承的長度與其直徑的比值小得多時，油膜壓力沿周向的變化率比沿軸線的變化率要小得多，即，也就是忽略其油膜壓力梯度，因此油膜壓力p所滿足的Reynolds方程可表示為

圖2 滑動軸承結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of journal bearing

式中 h=c+e cosθ，將油膜壓力p沿軸承表面進行積分，即對式(2)積分兩次，并認為在軸承的軸向泄油端油膜壓力為0，即有邊界條件p｜z=B/2=p｜z=-B/2=0，同時考慮到半Sommerfeld條件，可以得到非線性油膜力沿徑向和切向兩個方向的解析表達式，它們的無量綱形式分別為

將式(3)進行坐標變換，即投影到oxy平面內，可得出下式

式中 φ表示圓周方位角z軸承的軸向位置，p為油膜壓力，h為軸承油膜厚度，c為油膜間隙，μ為潤滑油膜黏度，B為軸承長度，λ為長頸比，e為偏心距，ε為軸頸偏心率，θ為軸頸的平衡位置。

1.3 無量綱運動方程

為了所研究問題具有普遍性和廣泛的適用性，利用滑動軸承的特征長度，即軸承油膜間隙c，以及圓盤質量m1，對方程(1)進行無量綱化處理，相關的無量綱參數見表1所示，其中，R為軸承半徑，σ為Sommerfeld數。

表1 無量綱參數表達式Tab.1 The expression of dimensionless parameter

式中 D為無量綱阻尼，K為無量綱剛度，ω為無量綱轉速，α為無量綱偏心率，n為質量比，fx和fy分別為無量綱油膜力在x和y軸上的分量。

2 非線性動力學特性

式(5)是一個具有較強非線性特征的多自由度非自治系統，因此從理論上想得到方程的解析解或者近似解析表達式是十分困難。本文采用4-5階龍格-庫塔數值方法，通過計算系統的穩態響應、頻譜響應、軸心軌跡、Poincaré映射以及最大Lyapunov指數等，分析系統的非線性動力學特性。

圖3為系統參數σ=3，α=0.1，n=10，K=12，D=0.1，λ=0.2時，采用數值積分得到的位移隨轉速變化情況，即轉速為ω=1.60→3.32時，穩態響應x1隨轉速變化的分岔圖以及最大Lyapunov指數曲線。其中在低速運轉時，轉子的穩態響應表現與不平衡響應類似，例如，ω=1.60→2.12時，轉子的振幅較小，此時系統的振動表現為單周期同步運動；隨著轉速的逐漸遞增，當ω=2.12→2.81時，系統經過倍周期分叉過渡到周期2運動；當轉速ω=2.81→3.00時，系統又回復到周期1運動；此后隨著轉速的進一步增加，在ω=3.02→3.10時，系統出現擬周期分岔；在高轉速下，系統從擬周期進入混沌運動，其振幅也急劇增大，直至轉子碰到軸瓦內壁。從中可以看出轉子系統的運動表現出十分豐富的非線性動力學特性，其運動狀態為周期1→周期2→周期1→擬周期→混沌。

圖4為系統在轉速ω=1.80時，穩態響應及其頻譜圖、軸心軌跡及其Poincaré映射圖。從頻譜圖中可以看出，在低轉速下，工頻分量十分明顯，此時系統的不平衡力對系統起主導作用，而系統的非線性因素的影響較小；從圖4(c)可知，軸心軌跡為比較規則的“橢圓形”且運行軌跡是周期的；圖4(d)表明在Poincaré截面上呈現出一個孤立的吸引子，系統響應表現為周期1，在該參數下所對應的Lyapunov指數為-0.003 29。

圖3 轉子系統穩態響應分岔圖及最大Lyapunov指數(LLE)Fig.3 The steady state responses of the rotor system and its largest Lyapunove exponents

圖5為轉速ω=2.20時，系統的動力學特性。從頻譜圖中可以發現響應成分約以0.5倍頻為主，此時以轉子的半頻渦動比較明顯。從圖5(c)可以看出軸心軌跡是一個褶曲閉合的軌跡“香蕉”形狀，且其運動軌跡是周期的。另外，Poincaré截面上呈現出2個明顯的孤立吸引子，其系統運動表現為周期2的動力學特性，其對應的Lyapunov指數為-0.000 61。

圖6為轉速ω=2.80時，系統的穩態響應及其頻譜圖、軸心軌跡及其Poincaré映射圖。從圖中可以看出頻域表現為工頻，此外在f/2，f，3f/2處有離散的譜峰；軸承軌跡表現為不規則封閉的“內8字”形，且其運動軌跡在某些位置處的曲率變化較大，運動軌跡仍是周期的；Poincaré映射為2個離散孤立的點集，表明系統為周期2運動，此時對應的Lyapunov指數為-0.002 40。

圖7為在轉速ω=3.02時，系統的動力學響應。從圖中可以看出，與半倍頻相比1倍頻成分凸顯；軸心軌跡被明顯限制在一個橢球域內，此時Poincaré截面圖上表現為一條閉合的曲線，系統對應的Lyapunov指數為-0.000 68，可以判斷系統在該轉速下作擬周期運動。

圖4 ω=1.80時，轉子系統的穩態響應Fig.4 The steady state response of rotor system whenω=1.80

圖5 ω=2.20時，轉子系統的穩態響應Fig.5 The steady state response of rotor system whenω=2.20

圖6 ω=2.80時，轉子系統的穩態響應Fig.6 The steady state response of rotor system whenω=2.80

圖8為轉速ω=3.085時，系統的穩態響應及其頻譜圖、軸心軌跡及其Poincaré映射圖。從圖中可以發現，1倍頻十分明顯，并且存在著半頻的諧波分量，此時軸心軌跡被限制在一個較為混亂的橢球形域內作周期性振蕩，Poincaré截面上映射點構成了一條封閉的曲線，其對應的Lyapunov指數為-0.000 41，此時系統在該轉速下作擬周期運動。

圖9為轉速ω=3.20時，系統的動力學特性。從圖中可以發現頻譜圖中存在著半倍頻和1倍頻的諧波分量，軸心軌跡被限制在一個較為混亂且近似橢球形域，其運動軌跡在某些位置處的曲率變化比較大，并且作復雜的非周期振蕩；Poincaré截面上映射點構成了間隔離散的點集，此時系統對應Lyapunov指數為0.000 94，由此可以判定系統在該轉速下處于混沌運動狀態。

圖7 ω=3.02時，轉子系統的穩態響應Fig.7 The steady state response of rotor system whenω=3.02

圖8 ω=3.085時，轉子系統的穩態響應Fig.8 The steady state response of rotor system whenω=3.085

圖9 ω=3.20時，轉子系統的穩態響應Fig.9 The steady state response of rotor system whenω=3.20

3 結 論

主要研究了氣囊-浮筏耦合的船用轉子-軸承系統非線性動力學特性，基于短軸承理論，建立了系統的動力學模型，探討了系統非線性動力學特性。結果表明：在較低轉速下，不平衡力對轉子系統的振動占據主導作用；隨著轉速的不斷提高，非線性油膜力對系統振動的影響逐漸增大。在較低轉速下，轉子振動幅值較小，且以單周期同步運動為主；隨著轉速的遞增，系統振動幅值逐漸增大并且伴有半頻渦動，系統開始進入倍周期運動狀態。隨著轉速的進一步繼續增加，系統逐漸進入擬周期運動；在高轉速下，系統逐漸進入混沌運動，同時振幅迅速增大，直至最后碰到軸承內圈。對于氣囊-浮筏耦合的船用轉子-軸承系統，在一定的轉速范圍之內表現出十分豐富的非線性動力學行為，其運動狀態為周期1→周期2→周期1→擬周期→混沌。這些特性為氣囊-浮筏耦合船用轉子系統的振動控制及參數設計提供理論指導。

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Nonlinear dynamic behavior of marine rotor-rearing system coupled by air bag-floating

LI Ming1，ZHAO Wen1，HE Lin2
(1.Department of Mechanics，Xi'an University of Science and Technology，Xi'an 710054，China；2.Institute of Noise&Vibration，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

Adynamic model of marine rotor-bearing system coupled by the air bag and floating is developed and its nonlinear dynamic characteristics are mainly discussed in this paper.First，on the basic assumption theory of short bearing，the dynamic model of rotor-bearing system coupled with air-floating is developed and its nonlinear dynamic behaviors are mainly analyzed by numerical method，such as the steady-state response，rotor orbit，Poincarémap，bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent(LLE)，etc.The results indicate that the steady state responses are the synchronous motion at the lower speeds，with increasing the speed it reveals the complex nonlinear dynamic phenomena，such as period two，quasi-period and chaotic motions.Above all the dynamic characteristics can provide the theoretic supporting for the vibration control and its optimizing parametric optimization of the marine rotor-bearing system coupled by air bag-floating.

air bag-floating；marine rotor system；short bearing；nonlinear vibration；dynamic characteristics

O322

A

1004-4523(2015)04-0618-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.015

李明(1963—)男，博士生導師，教授。電話：13572980962；E-mail：limingnuaa@hotmail.com

趙文(1989—)男，碩士研究生。電話：15102981751；E-mail：zhaowenwinner@163.com

2014-09-19；

2015-01-09

國家自然科學基金資助項目(11372245)；陜西省自然科學基金資助項目(2014JM1015)