談排列問題中的一些基本策略和方法技巧

李志強(qiáng)

（呂梁市職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校）

談排列問題中的一些基本策略和方法技巧

李志強(qiáng)

（呂梁市職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校）

排列問題是數(shù)學(xué)中相對獨立性較強(qiáng)的一部分，也是聯(lián)系實際應(yīng)用性較強(qiáng)的一部分，具備概念性強(qiáng)、靈活性強(qiáng)、思維方法新穎等特點。學(xué)習(xí)和掌握一些基本解題思路，除了靈活運用基本原理和公式進(jìn)行解答外，還要注意一些基本策略和方法技巧。

數(shù)學(xué)教學(xué)；排列問題；解題方法技巧

排列是數(shù)學(xué)中的重點也是難點之一，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)和解決具體問題的工具，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是：化歸思想、分類討論思想和模型化思維方法，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，開發(fā)智力，提高數(shù)學(xué)思想素養(yǎng)有很大的幫助，下面具體談?wù)勗诮虒W(xué)中的幾點建議。

一、特殊優(yōu)先，一般在后

對于問題的特殊元素，特殊位置要優(yōu)先安排，在操作時，針對實際問題，有時元素優(yōu)先，有時位置優(yōu)先。

例1.四名男生，三名女生排成一排，按下列要求有多少種不同的排法？

①甲、乙兩人排在兩端，②甲、乙兩人不得排在兩端。

分析：①由于甲、乙必須排在首末兩位，因此先把甲、乙特殊元素優(yōu)先安排，故有=240種方法。

②因為甲、乙不得排兩端，因此兩端必需排其他元素，可看作位置優(yōu)先，兩端排法共有=20種方法，剩余中間五個位置可以排甲、乙，共有=120種方法，故一共排法有=2400種。

二、合理分類，準(zhǔn)確分布

我們知道分類與分布是兩個計數(shù)原理的應(yīng)用，合理分類、準(zhǔn)確分步是確保問題的前提，有時需要分類，有時需要分步，并且之間交叉進(jìn)行。

例2.用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的①五位奇數(shù)，②大于40000的五位偶數(shù)，③能被5整除的五位數(shù)。

分析：①要排五位奇數(shù)，首先考慮五位奇數(shù)中0的存在，這需要考慮有0或無0，因此需要分類，一類不含0，有=8400種，另一類含0（不能排首位），有=13440種方法。

②對于這個問題屬于分類與分步互相滲透的一個題，必須先分類，再對每一類進(jìn)行分步，一類分首數(shù)4、6、8，先確定首位數(shù)，然后再排個位數(shù)，則有種，二類分首數(shù)5、7、9，一共有，所以一共有種方法。

三、元素相鄰，捆綁處理

對于元素相鄰排列的問題，可以把相鄰元素捆綁看成一個大的元素，再與其他元素進(jìn)行排列，同時要對相鄰元素之間進(jìn)行自排。

例3.五個男生，四個女生站成一排，要求四個女生必須站在一起，有多少種不同的排法？

四、間隔排法，插空解決

對于某n個元素不相鄰的排列問題，可先將其他無限制條件的元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。

例4.四名男生，三名女生排成一排，要求三名女生不相鄰或四名男生不相鄰，共有多少種排法？

五、順序一定，除法處理

對于某些元素的順序的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進(jìn)行排列。

例5.五名男生，四名女生排成一排，四名女生順序一定，共有多少種排法？

分析：對于這種情況，四名女生順序是一定的，只能說明女生之間的排列是一種情況，因此應(yīng)該用除法，排列總數(shù)為=15120種排法。

六、元素分排，直排處理

把n個元素排成若干排列的問題，若沒有其他特殊的要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理，對于每排的特殊要求要分段考慮。

例6.將八人分成兩排，前排五人，后排三人，有多少種排法？

分析：對于此類型的排列問題，可把每排的首位相連排成一排，進(jìn)行全排列，一共有種排法。

七、環(huán)狀排列，剪斷直排

n個人圍成一圈的排列，對于環(huán)狀排列我們可想象成是這n個人手拉手的排列，可采用剪斷直排法，由于n個連接點，故有n種剪斷的方法，一共有種排法。

八、正難則反，間接處理

對于一些排列問題，正面情況解決復(fù)雜，而其方面情況較簡單時，可先考慮無限制條件的排列，再減去其他方面情況的排列總數(shù)，就是應(yīng)該的結(jié)果種數(shù)。

例7.用0、1、2、3、4、5這六個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中3不在末尾的數(shù)，共有多少種？

分析：用0、1、2、3、4、5這六個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有個，3排在末尾的情況有個，減去這種不符合條件的排法數(shù)，故一共有=84種。

通過以上解題思路的學(xué)習(xí)，我們對解決排列問題有了鑰匙，這些技巧和方法不是孤立的，而是相互依存、互相利用的，同學(xué)們只有對基本方法解題策略熟練掌握，根據(jù)它們的使用條件，根據(jù)不同的技巧就可以得到解決，才能進(jìn)一步提高解題的綜合能力。

嚴(yán)道順.例談排列組合問題的常用技巧和方法［J］.中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2010.

·編輯 段麗君