基于矩陣編碼的遺傳算法多雜質(zhì)間歇用水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化

葉夢(mèng)晴，解新安，李璐，李雁

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)食品學(xué)院，廣東 廣州 510642）

引 言

我國現(xiàn)在所面臨的水資源問題一方面是水資源嚴(yán)重緊缺，另一方面是水資源的浪費(fèi)和污染。食品工業(yè)、造紙工業(yè)、精細(xì)化工等工業(yè)過程不僅是用水大戶，同時(shí)也是廢水排放和環(huán)境污染的重要源頭[1-2]。間歇過程以其生產(chǎn)過程靈活、易于控制、產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用，同時(shí)由于其動(dòng)態(tài)性、多路徑等特點(diǎn)也使其用水網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)更加復(fù)雜[3-4]。

針對(duì)用水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的方法主要有圖解法、數(shù)學(xué)規(guī)劃法和智能算法[5]。圖解法簡(jiǎn)單直觀，但是無法解決多雜質(zhì)、需要調(diào)度、有工藝限制等較復(fù)雜的過程。數(shù)學(xué)規(guī)劃法是實(shí)現(xiàn)同步優(yōu)化策略的主要工具，但由于數(shù)學(xué)模型具有維數(shù)多、非凸性和非線性等特性，因此經(jīng)典數(shù)學(xué)規(guī)劃法在求解用水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題時(shí)一般需要對(duì)超結(jié)構(gòu)或者約束條件進(jìn)行處理，在這個(gè)處理過程有可能刪去最優(yōu)解，且具體的處理方法需要依據(jù)不同的實(shí)際問題進(jìn)行，因此通用性較低[5-7]。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，智能算法越來越多地被用于各個(gè)領(lǐng)域求解大規(guī)模非線性優(yōu)化問題。Luo 等[8]和王猛等[9]將粒子群算法應(yīng)用到水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計(jì)中； Prakotpol 等[10]、Lavric 等[11]和林瓦妹等[12]將遺傳算法應(yīng)用于用水網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型的求解；都健等[13]將遺傳算法嵌入模擬退火算法的內(nèi)循環(huán)中對(duì)用水網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行求解；李鳳喜等[14]將隊(duì)列競(jìng)爭(zhēng)算法和序列二次規(guī)劃法進(jìn)行融合，并用于水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化。這些智能算法主要是針對(duì)連續(xù)過程的用水網(wǎng)絡(luò)，本文針對(duì)間歇過程用水網(wǎng)絡(luò)，提出了基于矩陣編碼的遺傳算 法[15-16]求解多雜質(zhì)間歇用水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，采用矩陣的編碼方式可清晰地表示用水單元間的回用關(guān)系，便于進(jìn)行調(diào)度約束，并且通過實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證該方法的可行性。

1 多雜質(zhì)間歇用水網(wǎng)絡(luò)同步優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.1 問題描述

有N個(gè)用水單元（記為集合N={i|i=1,2,…,N}），存在M種雜質(zhì)（記為集合M={s|s=1,2,…,M}），每個(gè)用水單元對(duì)進(jìn)口水流中所含的雜質(zhì)有最大進(jìn)口濃度限制，每個(gè)用水單元出口水流中所含雜質(zhì)也有最大出口濃度限制，每個(gè)用水單元通過的水流量有最大水流量Fmax的限制，用水單元之間的用水調(diào)度過程需要滿足雜質(zhì)濃度和用水時(shí)間的雙重約束，目標(biāo)是要確定整個(gè)用水系統(tǒng)的最小新鮮水用量。

1.2 多雜質(zhì)間歇過程用水網(wǎng)絡(luò)超結(jié)構(gòu)

對(duì)于該超結(jié)構(gòu)，作如下假設(shè)：①單一周期內(nèi)，每個(gè)用水單元執(zhí)行有限次任務(wù)；②各用水單元的進(jìn)水和排水過程是瞬間完成，即進(jìn)水和排水不耗費(fèi)時(shí)間；③給定每個(gè)用水單元的極限進(jìn)出口濃度、極限進(jìn)水量及雜質(zhì)負(fù)荷；④考慮到用水操作調(diào)度，給定每個(gè)用水單元的操作開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間或操作時(shí)間長(zhǎng)度。

無儲(chǔ)罐多雜質(zhì)間歇過程用水網(wǎng)絡(luò)的超結(jié)構(gòu)如圖1[4]所示，用水單元的進(jìn)水可以來自上一個(gè)用水單元和新鮮水源，出水可以流向下一個(gè)用水單元或作為廢水排出。

圖1 無儲(chǔ)罐過程的超結(jié)構(gòu)Fig.1 Superstructure for mathematical formulation with out reusable water storage

1.3 多雜質(zhì)間歇用水網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型

基于圖1的超結(jié)構(gòu)，建立的數(shù)學(xué)模型由兩部分組成：水回用模型和調(diào)度模型。優(yōu)化目標(biāo)為整個(gè)用水網(wǎng)絡(luò)中各用水單元使用新鮮水量之和最小，即：

1.3.1 水回用模型

式(1)為用水單元i的進(jìn)出水量平衡；式(2)為用水單元i的進(jìn)出水雜質(zhì)質(zhì)量平衡；式(3)是用水單元i進(jìn)口水量濃度計(jì)算式；式(4)～式(6)為用水單元濃度和流量約束。

1.3.2 調(diào)度模型

該調(diào)度模型是針對(duì)沒有緩沖儲(chǔ)罐的情形，其中式(7)、式(8)表示若用水單元j的出水能回用給用水單元i，則需滿足用水單元j的出水時(shí)刻正好等于用水單元i的進(jìn)水時(shí)刻；式(9)、式(10)則表示了用水單元i的出水回用給用水單元j需要滿足的條件。

2 模型優(yōu)化求解策略

2.1 基于矩陣編碼的遺傳算法

目前用于間歇過程用水網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化方法多為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃法，智能算法主要針對(duì)連續(xù)用水網(wǎng)絡(luò)，無法對(duì)時(shí)間進(jìn)行約束，本文提出采用矩陣的形式進(jìn)行編碼，可較為清晰地表示用水單元間的回用關(guān)系，矩陣是在時(shí)間條件約束下生成的，滿足了調(diào)度模型。在遺傳算法的交叉和變異規(guī)則的設(shè)計(jì)時(shí)，同樣需要在調(diào)度模型下進(jìn)行，以滿足時(shí)間約束。

2.1.1 適應(yīng)度函數(shù) 在已知用水單元間回用關(guān)系后，對(duì)數(shù)學(xué)模型(1)～(6)進(jìn)行求解，采用信賴域序列二次規(guī)劃法（TRSQP）[17-18]對(duì)該非線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解，以新鮮水用量為目標(biāo)函數(shù)，在該回用關(guān)系下求得的新鮮水用量即為該個(gè)體的適應(yīng)度值。

2.1.2 種群初始化 數(shù)學(xué)模型中的0-1 變量實(shí)際上是用來表示兩個(gè)用水單元間回用是否發(fā)生，以yr作為基因，對(duì)于有N個(gè)用水單元的用水網(wǎng)絡(luò)，用N×N的矩陣作為一個(gè)基因，矩陣中的第i行第j列的元素yr(i,j)表示用水單元i到用水單元j的回用是否發(fā)生，若為0 則表示用水單元i到單元j回用不發(fā)生，若為1 則表示回用發(fā)生。

2.1.3 選擇操作 選擇操作主要是為了保留好的個(gè)體，淘汰不好的個(gè)體，同時(shí)保持種群的多樣性，故采用錦標(biāo)賽選擇結(jié)合精英策略的方法。通過精英策略可以將適應(yīng)度值最好的基因直接保留到下一代，對(duì)于其余個(gè)體采用錦標(biāo)賽選擇方法，即在種群中選擇一定數(shù)量的個(gè)體，將其中適應(yīng)度最好的保留到下一代，反復(fù)執(zhí)行直到下一代個(gè)體數(shù)量達(dá)到種群規(guī)模。

2.1.4 矩陣編碼的交叉操作 遺傳算法的交叉操作，考慮到矩陣所代表的實(shí)際意義，把yr(i,j)和yr(j,i)兩個(gè)元素作為一組，進(jìn)行交叉操作時(shí)，對(duì)兩個(gè)矩陣相同的位置的一組元素同時(shí)進(jìn)行交換，完成交叉操作，這樣形成的新的矩陣同樣滿足時(shí)間約束。

2.1.5 矩陣編碼的變異操作 變異操作主要是為了防止結(jié)果早熟，同時(shí)考慮到矩陣所代表的實(shí)際意義來進(jìn)行設(shè)計(jì)的。因?yàn)橐獫M足調(diào)度約束，將矩陣中的yr(i,j)和yr(j,i)兩個(gè)元素作為一組，改變其中一個(gè)元素的值，另一個(gè)元素的值在滿足約束的同時(shí)隨之發(fā)生變化，如：若該組元素值均為0，則其中一個(gè)變異為1，若該組元素值為1 和0，則變異為0 和1或者0 和0，其他位置不發(fā)生改變，這樣既滿足了種群的多樣性，也使矩陣沒有失去實(shí)際的意義，滿足了時(shí)間約束。

2.2 求解策略

本文采用混合智能算法求解，基本思想：采用遺傳算法分離出模型中的0-1 變量，數(shù)學(xué)模型由MINLP（混合整數(shù)非線性規(guī)劃）模型變?yōu)镹LP（非線性規(guī)劃）模型，對(duì)于NLP 模型采用信賴域序列二次規(guī)劃法進(jìn)行求解，從而得到各個(gè)基因的適應(yīng)度值。

圖2 遺傳算法的流程圖Fig.2 Calculation scheme of genetic algorithm

2.2.1 直接回用間歇用水網(wǎng)絡(luò) 在直接回用的用水網(wǎng)絡(luò)中，沒有儲(chǔ)罐，只有用水單元間的回用，在這種類型的用水網(wǎng)絡(luò)中，在種群初始化時(shí)用水單元間必須滿足調(diào)度模型的約束。

具體求解過程如下。

（1）在調(diào)度模型的約束下隨機(jī)產(chǎn)生一組滿足條件的矩陣，在滿足用水單元調(diào)度的基礎(chǔ)上確定了整個(gè)用水網(wǎng)絡(luò)的水回用情況，同時(shí)把MINLP 模型轉(zhuǎn)化為NLP 模型。

（2）采用TRSQP 法對(duì)NLP 模型進(jìn)行求解，得到每一個(gè)基因?qū)?yīng)的適應(yīng)度值。

（3）依據(jù)適應(yīng)度值，采用錦標(biāo)賽結(jié)合精英策略的選擇方法對(duì)隨機(jī)產(chǎn)生的種群進(jìn)行選擇，獲得第一代種群。

（4）對(duì)種群中的個(gè)體進(jìn)行交叉和變異操作，得到第二代種群，同時(shí)與第一代種群比較，保留最優(yōu)個(gè)體。

（5）重復(fù)步驟（2）～步驟（4），直到完成規(guī)定進(jìn)化代數(shù)，結(jié)束進(jìn)化。

（6）由遺傳算法得到的最佳基因即為用水單元回用關(guān)系，再由TRSQP 法得到各單元間回用的水量，即得到用水網(wǎng)絡(luò)。

2.2.2 間接回用間歇用水網(wǎng)絡(luò) 在間歇過程中，可以使用儲(chǔ)罐來跨越時(shí)間約束。對(duì)此種類型用水網(wǎng)絡(luò)，在種群初始化時(shí)生成的矩陣不必嚴(yán)格滿足調(diào)度約束，由于用水單元不可以自己向自己回用水，同時(shí)由于濃度限值，兩用水單元不可同時(shí)向?qū)Ψ竭M(jìn)行回用，即需滿足yr(i,i)=0和yr(i,j) ×yr(j,i)=0兩個(gè)約束條件。

具體求解過程如下：

（1）隨機(jī)生成滿足上述兩個(gè)約束的矩陣，完成種群初始化。

（2）～（5）與直接回用過程的求解過程相同。

（6）用步驟（5）得出的回用關(guān)系建立一個(gè)初步的用水網(wǎng)絡(luò)，在此用水網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)于不滿足時(shí)間約束的用水單元間的回用，通過添加儲(chǔ)罐來跨越時(shí)間約束，從而得到儲(chǔ)罐個(gè)數(shù)，再根據(jù)通過TRSQP算得的用水單元間的回用水量來確定儲(chǔ)罐的體積，進(jìn)一步獲得滿足條件的用水網(wǎng)絡(luò)圖。

（7）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)規(guī)則[7]來簡(jiǎn)化合并上一步中得到的用水網(wǎng)絡(luò)中的管路和儲(chǔ)罐，得到最終的用水網(wǎng)絡(luò)。

3 實(shí)例求解

實(shí)例1 取自文獻(xiàn)[3]，為2 雜質(zhì)5 過程的固定生產(chǎn)計(jì)劃的間歇過程，其用水?dāng)?shù)據(jù)如表1所示。

由圖3可知，該實(shí)例需要設(shè)置一個(gè)固定緩沖儲(chǔ)罐，位于用水單元1 后，其最小容量為70 t，由基于固定緩沖儲(chǔ)罐的優(yōu)化結(jié)果可得出，其最小新鮮水用量為131.43 t，且無需進(jìn)行循環(huán)周期優(yōu)化，比文獻(xiàn)[3]中循環(huán)周期節(jié)水24.81 t。圖4為不設(shè)置儲(chǔ)罐的優(yōu)化結(jié)果，此時(shí)新鮮水量最小為157.91 t。

表1 實(shí)例1 中各用水過程的數(shù)據(jù)Table 1 Data of processes for case No.1

圖3 實(shí)例1 基于固定緩沖儲(chǔ)罐優(yōu)化結(jié)果Fig.3 Optimal network with storages of case No.1

圖4 實(shí)例1 無儲(chǔ)罐優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimal network without storages of case No.1

實(shí)例2 取自文獻(xiàn)[19-21]，為2 雜質(zhì)4 過程的固定生產(chǎn)計(jì)劃的間歇過程。其用水?dāng)?shù)據(jù)如表2所示。

由圖5可知，該實(shí)例需要設(shè)置2 個(gè)固定緩沖儲(chǔ)罐，分別位于用水單2 和3 后，其最小容量分別為70 t 和78.62 t，由基于固定緩沖儲(chǔ)罐的優(yōu)化結(jié)果可得出，該實(shí)例的最小新鮮水用量為142.93 t，本研究比文獻(xiàn)[19-20]中最小新鮮水用量143.10 t 略小，比文獻(xiàn)[21]中最小新鮮水用量144.00 t 也略小。最終用水網(wǎng)絡(luò)結(jié)果中有14 條流股，比文獻(xiàn)[19-20]少一條，與文獻(xiàn)[21]相同。圖6為無儲(chǔ)罐情況下的優(yōu)化結(jié)果，最小新鮮水用量為201.67 t。

表2 實(shí)例2 用水過程數(shù)據(jù)Table 2 Data of processes for case No.2

圖5 實(shí)例2 基于固定緩沖儲(chǔ)罐優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimal network with storages of case No.2

圖6 實(shí)例2 無儲(chǔ)罐優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Optimal network without storages of case No.2

4 結(jié) 論

本文提出了對(duì)多雜質(zhì)間歇用水網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基于矩陣編碼的遺傳算法。針對(duì)現(xiàn)有方法對(duì)MINLP 模型求解的局限性，該法先使用遺傳算法來優(yōu)化整數(shù)變量，同時(shí)采用矩陣編碼的形式，使水回用關(guān)系清晰明了，實(shí)現(xiàn)了對(duì)用水單元間水回用關(guān)系的約束，再采用TRSQP 法來優(yōu)化連續(xù)變量，得到用水單元間回用水量，兩種方法的結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了用水網(wǎng)絡(luò)中時(shí)間約束和用水量最小的同步優(yōu)化。通過對(duì)2 個(gè)經(jīng)典實(shí)例的求解，均得到了較優(yōu)的結(jié)果，驗(yàn)證了本方法對(duì)求解多雜質(zhì)間歇用水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的有 效性。

符 號(hào) 說 明

Cs,in(i)——第i個(gè)用水單元進(jìn)口水流中第s種雜質(zhì)的濃度，mg·kg-1

——第i個(gè)用水單元進(jìn)口水流中第s種雜質(zhì)允許的最大濃度，mg·kg-1

Cs,out(i)——第i個(gè)用水單元出口水流中第s種雜質(zhì)的濃度，mg·kg-1

——第i個(gè)用水單元出口水流中第s種雜質(zhì)允許的最大濃度，mg·kg-1

Fe(i)——第i個(gè)用水單元排出的廢水水量，t

Ff(i)——第i個(gè)用水單元使用的新鮮水量，t

Fin(i)——第i個(gè)用水單元進(jìn)口處水量，t

——第i個(gè)用水單元進(jìn)口處允許的最大水量，t

Fr(i,j)——第i個(gè)用水單元向第j個(gè)用水單元回用水量，t

H——用水網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)周期時(shí)間，h

tin(i)——第i個(gè)用水單元進(jìn)水時(shí)間，h

tout(i)——第i個(gè)用水單元出水時(shí)間，h

yr(i,j)——第i個(gè)用水單元的水是否向第j個(gè)用水單元進(jìn)行回用

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