基于隨機微分博弈的最優(yōu)投資

羅琰　劉曉星

摘 要 研究存在模型風(fēng)險的最優(yōu)投資決策問題，將該問題刻畫為投資者與自然之間的二人-零和隨機微分博弈，其中自然是博弈的“虛擬”參與者.利用隨機微分博弈分析方法，通過求解最優(yōu)控制問題對應(yīng)的HJBI（HamiltonJacobiBellmanIsaacs）方程，在完備市場和存在隨機收益流的非完備市場模型下，都得到了投資者最優(yōu)投資策略以及最優(yōu)值函數(shù)的解析表達(dá)式.結(jié)果表明，在完備市場條件下，投資者的最優(yōu)風(fēng)險投資額為零，在非完備市場條件下最優(yōu)投資策略將賣空風(fēng)險資產(chǎn)，且賣空額隨著隨機收益流波動率的增大而增加，隨風(fēng)險資產(chǎn)波動率增大而減少.

關(guān)鍵詞 模型風(fēng)險；微分博弈；投資組合；鞅測度

中圖分類號 F830 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

Optimal Investment Based on Stochastic Differential Game

LUO Yan1，2，LIU Xiaoxing2

（1.School of Science， Nanjing Audit University， Nanjing，Jiangsu 211815，China；

2.School of Economic and Management， South East University， Nanjing，Jiangsu 211189 ，China）

Abstract This paper studied the problem of optimal investment with model risk via stochastic differential game approach. Suppose that nature is a "fictitious" player of game， the problem is represented as the twoplayer zerosum stochastic differential game between the nature and investor. Through solving HJBI equations， this paper derived the closedform expressions of optimal strategies of the investor and the optimal value function under the complete market and incomplete market with stochastic income respectively via stochastic game approaches. The results indicate that the amount of optimal investment on risky asset is zero in complete market，but the amount of optimal investment on risky asset is the negative ratio between the income flow volatility and risky asset volatility in incomplete market.

Key words model risk；differential game； portfolio； martingale measure

1 引 言

在最優(yōu)投資問題的研究中，以往大部分文獻(xiàn)[1-4]都假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)以及其他相關(guān)的狀態(tài)變量服從某個已知的隨機過程，建立相應(yīng)的投資決策模型，從而得到投資者的最優(yōu)投資策略.然而，真實世界中基礎(chǔ)資產(chǎn)以及相關(guān)狀態(tài)變量所遵循的隨機過程往往和模型中事先假定的過程之間存在差異，因此投資者得到的“最優(yōu)”投資策略與真實的最優(yōu)策略也會存在差異.雖然，許多學(xué)者不斷構(gòu)造出更切合實際的模型來刻畫資產(chǎn)的價格變化過程，但任何事先假定的資產(chǎn)價格過程與真實世界都會存在差異.因此，“模型風(fēng)險（模型不確定性）”是在投資過程中真實存在且不可避免的.從數(shù)學(xué)的角度來說，通常的風(fēng)險是指投資者對隨機過程未來出現(xiàn)哪種結(jié)果是未知的，但對隨機過程所服從的概率分布是已知的.而這里的模型風(fēng)險是指隨機過程（如股票價格過程）所服從的概率分布本身不確定的.因此，本文把模型風(fēng)險刻畫為概率測度的不確定性.國內(nèi)外學(xué)者對存在模型風(fēng)險情形下的投資及定價問題做了許多研究，如Maenhout （2004）[5] 在魯棒（robust）方法基礎(chǔ)上，利用相對熵測度模型不確定性，研究了連續(xù)時間下最優(yōu)投資消費問題，李仲飛和高金窯（2010）[6]研究了模型不確定下投資組合及資本資產(chǎn)定價（CAPM）問題.羅琰和楊招軍（2010）[7]研究了存在模型風(fēng)險的保險公司最優(yōu)投資決策問題，得到了公司的最優(yōu)投資及再保險策略.Lin， Zhang and Siu（2012） [8]研究了具有跳擴散風(fēng)險過程保險公司的最優(yōu)投資及再保險決策隨機微分博弈問題.李仲飛和高金窯（2011）[9]在CIR模型基礎(chǔ)上，通過引入折現(xiàn)熵，研究了模型不確定性條件下的一般均衡定價問題，導(dǎo)出了模型不確定性條件下的無風(fēng)險利率定價方程、跨期資本資產(chǎn)定價模型、基于消費的資本資產(chǎn)定價模型、金融資產(chǎn)定價公式及包含不確定性成分的隨機折現(xiàn)因子.Jin and Zhang（2012） [10]利用分解方法研究了投資者面臨資產(chǎn)價格頻繁跳躍帶來不確定性時，并不會減少風(fēng)險資產(chǎn)的投資.

經(jīng) 濟 數(shù) 學(xué)第 32卷第2期

羅 琰等：基于隨機微分博弈的最優(yōu)投資

與上述文獻(xiàn)不同，本文所定義的模型風(fēng)險具體來說就是投資者初始參考的資產(chǎn)價格變化過程與未來真實世界中的價格變化過程之間可能存在的客觀差異.因而，模型風(fēng)險對投資者選取的最優(yōu)投資策略具有重要的影響，可能與不考慮模型風(fēng)險的最優(yōu)投資策略截然不同.本文試圖用隨機微分博弈的思想來研究存在模型風(fēng)險時基于最大化終止時刻財富期望效用準(zhǔn)則的最優(yōu)投資決策問題.Mataramvura and ksendal （2008） [11]在跳-擴散金融市場中，利用隨機微分博弈論研究了風(fēng)險最小化的投資組合策略問題.Siu （2008）[12]也利用隨機微分博弈論研究了Markov調(diào)制模型下的期權(quán)估值問題.Zhang and Siu（2009） [13] ，Zhou etal. （2013） [14]， 以及Bensoussan etal. （2014） [15]利用隨機微分博弈論研究了不存在無風(fēng)險資產(chǎn)情形下保險公司最優(yōu)投資及再保險問題.Browne[14] 研究了2個具有相關(guān)但不同投資機會的投資者之間基于隨機微分博弈的最優(yōu)投資問題.何朝林和孟衛(wèi)東[15]在隨機波動模型中引入一個新的隨機變量，用以測度風(fēng)險資產(chǎn)價格未來實際運動與模型描述之間的不確定性差異，研究投資者面對時變投資機會和規(guī)避該不確定性差異下的動態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題.

本文將存在模型風(fēng)險的最優(yōu)投資決策問題刻畫為自然與投資者之間的二人-零和隨機微分博弈，這里自然是博弈中“虛擬”的參與者.具體來說，一方面投資者選擇一種投資組合策略最大化其終止時刻財富期望效用，這里的期望是在自然控制的概率測度Qθθ∈Θ下取得的，Qθθ∈Θ代表了不同的經(jīng)濟“環(huán)境”，且概率測度Qθθ∈Θ是投資者無法控制的，否則投資者最后所獲得的效用可視為不同度量尺度的一個相對數(shù)值，其效果如同用不同的貨幣衡量同一件商品的價值當(dāng)然有不同的數(shù)值，而商品價值的實際數(shù)值（效用）不會改變.另一方面，自然通過選擇概率測度所代表的經(jīng)濟“環(huán)境”，最小化投資者的最大終止時刻財富期望效用.本文分別在經(jīng)典Black-Scholes完備市場以及引入隨機收益流的非完備市場條件下研究存在模型風(fēng)險的最優(yōu)投資決策問題.在投資者具有指數(shù)效用偏好的假設(shè)下，得到了投資者的最優(yōu)投資策略及最優(yōu)值函數(shù)的顯示解.

2 完備市場模型下的最優(yōu)投資決策

本文始終考慮在有限時間段[0，T]內(nèi)的最優(yōu)投資決策，投資者所面臨的經(jīng)濟環(huán)境是不確定的.為刻畫經(jīng)濟環(huán)境的隨機性，引入概率空間（Ω，F(xiàn)，P），這里P表示一個參考概率測度，每個w∈Ω代表直到時刻T才最終確定的一個經(jīng)濟狀態(tài).本節(jié)在經(jīng)典的BlackScholes完備市場經(jīng)濟條件下考慮基于存在模型風(fēng)險的最優(yōu)投資決策.假設(shè)市場中僅存在一種風(fēng)險資產(chǎn)及一種無風(fēng)險資產(chǎn)，風(fēng)險資產(chǎn)價格S（t）服從幾何布朗運動：

dS（t）=μS（t）dt+σS（t）dW（t），S（0）=s. （1）

無風(fēng)險資產(chǎn)價格S0（t）服從如下方程：

dS0（t）=rS0（t）dt，S0（0）=1， （2）

其中r，μ，σ>0為常量，μ為風(fēng)險資產(chǎn)的回報率，σ為風(fēng)險資產(chǎn)價格波動率，r為無風(fēng)險資產(chǎn)收益率且有0

設(shè)投資者具有初始財富x，采用自融資（SelfFinancing）交易策略，即在整個時間段[0，T]即不追加投資，也不抽出資金作為他用.設(shè)π（t）為t時刻投資在風(fēng)險資產(chǎn)上的財富，X（t）-π（t）為t時刻投資在無風(fēng)險資產(chǎn)上的財富.若{π（t），t≥0}是Ft循序可測的，并幾乎處處滿足可積條件∫T0π2tdt<+

SymboleB@ ，則π（t）是可行策略，記Π為所有可行策略集.投資者在時刻t的財富過程X（t）滿足如下受控擴散過程：

dX（t）=[rX（t）+π（t）（μ-r）]dt+π（t）σdW（t），

X（0）=x.（3）

投資者的目標(biāo)是最大化其終止時刻財富水平X（T）的期望效用.需要強調(diào)的是：上述“期望”是在具體的概率測度下取得的，即使同一隨機變量，不同的概率測度對應(yīng)不同的期望值.所以投資者終止時刻財富期望效用的大小受具體概率測度的控制，而這里的概率測度是由自然控制的.于是，自然可以通過選擇概率測度，最小化投資者期望效用.

引入自然控制的概率測度集.假設(shè)Ft可測的隨機過程{θ（t）|t≥0}，對任意T<

SymboleB@ ，滿足Novikov條件E[exp（12∫T0θ2（t）dt）]<

所以，由式（9）和（10）可知：自然選擇不同的θ，風(fēng)險資產(chǎn)回報率在不同經(jīng)濟“環(huán)境”中也隨之變化，于是投資者的財富過程也發(fā)生相應(yīng)變化.

現(xiàn)在可以在自然和投資者之間考慮如下隨機微分博弈：給定由測度Qθ表示的自然選定的經(jīng)濟“環(huán)境”，投資者選擇最優(yōu)投資策略最大化其終止時刻財富期望效用.自然對投資者的選擇做出反應(yīng)，通過選擇由測度Qθ表示的經(jīng)濟“環(huán)境”，最小化投資者的最大財富期望效用.這就把最優(yōu)投資決策問題刻畫為自然與投資者之間的二人-零和隨機微分博弈.為方便敘述，定義：

由定理3可知，在非完備市場條件下，投資者的最優(yōu)投資策略是賣空風(fēng)險資產(chǎn)，且賣空額隨著隨機收益流波動率的增大而增加，隨著風(fēng)險資產(chǎn)波動率增大而減少.而由式（34）可知，若=0，即自然選擇的是初始參考概率測度P，與投資者的參考概率測度一致，則最優(yōu)投資策略與文獻(xiàn)[18]中定理5的結(jié)論一致，為

π=（μ-r）/[γσ2er（T-s）]-ρβ/σ. （39）

由此可見文獻(xiàn)[16]中定理5的結(jié)論是本文的一種特殊情形.式（39）的第一項即為不考慮模型風(fēng)險情形時經(jīng)典Merton問題的最優(yōu)投資策略，而第二項是引入隨機收益流后產(chǎn)生的投資需求.當(dāng)本文考慮存在模型風(fēng)險且投資者具有隨機收益流時，自然的最優(yōu)策略將同時影響最優(yōu)投資策略式（39）的第一項和第二項投資的需求.由式（34）可知，此時第一項投資需求減少為零，這對應(yīng)著完備市場中風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)投資額為零；第二項的投資需求修正為收益流與風(fēng)險資產(chǎn)波動率之比的相反數(shù)-β/σ，與相關(guān)系數(shù)ρ已沒有關(guān)系，這是因為自然的選擇（與相關(guān)系數(shù)ρ有關(guān)）恰好消除了投資策略對兩種隨機風(fēng)險過程相關(guān)性的依賴.由式（19）及式（36）可知，最優(yōu)投資策略與風(fēng)險厭惡系數(shù)γ無關(guān)，即最優(yōu)投資策略獨立于投資者的風(fēng)險厭惡態(tài)度，而傳統(tǒng)的基于效用最大化準(zhǔn)則的投資策略都與風(fēng)險厭惡系數(shù)相關(guān).

4 結(jié) 語

本文研究了存在模型風(fēng)險的最優(yōu)投資決策問題.利用隨機微分博弈方法，假設(shè)自然是博弈的“虛擬”參與者，將問題刻畫為投資者與自然之間的二人-零和隨機微分博弈.投資者選擇一個投資策略最大化其終止時刻財富期望效用，而自然選擇一個概率測度代表的經(jīng)濟“環(huán)境”最小化投資者的最大財富期望效用.在完備市場和具有隨機收益流的非完備市場條件下，假設(shè)投資者具有指數(shù)效用函數(shù)，通過求解模型相應(yīng)的HJBI方程，都獲得了投資者的最優(yōu)策略及最優(yōu)值函數(shù)的顯式解.本文得到的結(jié)果表明：在完備市場中投資者的最優(yōu)投資策略為將全部財富購買無風(fēng)險資產(chǎn)，而風(fēng)險資產(chǎn)投資額為零，因為投資者與自然處于均衡狀態(tài)時，自然選擇的是一個等價鞅測度或者說是無風(fēng)險測度，投資者處于一個風(fēng)險中性世界.而在非完備市場條件下，為了利用風(fēng)險資產(chǎn)對沖隨機收益的不確定性，投資者將賣空風(fēng)險資產(chǎn)，且賣空額隨著隨機收益流波動率的增大而增加，隨風(fēng)險資產(chǎn)波動率增大而減少.本文得到的結(jié)論切實可行，易于實時操作，對投資者面臨最不利經(jīng)濟環(huán)境時的最優(yōu)投資決策提供了一個有益的參考.

參考文獻(xiàn)

[1] R CMERTON. Optimal consumption and portfolio rules in a continuoustime model [J].Journal of Economic Theory， 1971（3）：373-413.

[2] 羅琰，楊招軍. 最小化破產(chǎn)概率的最優(yōu)投資[J].管理科學(xué)學(xué)報， 2011，14（5）：77-85.

[3] 羅琰，楊招軍，楊金強.最大化生存概率的投資策略[J].中國管理科學(xué)，2009，17（4）：46-52.

[4] 羅琰，楊招軍，楊金強.最小化生命期破產(chǎn)概率的最優(yōu)投資[J].湖南大學(xué)學(xué)報：自科科學(xué)版， 2009， 36（8）： 84-87.

[5] P J MAENHOUT. Robust portfolio rules and asset pricing [J]. The review of financial studies， 2004（17）：951- 983.

[6] 高金窯，李仲飛.模型不確定性條件下的Robust 投資組合有效前沿與CAPM[J].中國管理科學(xué)，2010，18（6）：1-8.

[7] 羅琰，楊招軍.基于隨機微分博弈的保險公司最優(yōu)投資決策[J].保險研究，2010（8）：48-52.

[8] X LIN， C H ZHANG，T K SIU. Stochastic differential portfolio games for an insurer in a jumpdiffusion risk process[J]. Mathmatical Methods Operation Research ， 2012（75）：83-100.

[9] 李仲飛，高金窯. 模型不確定條件下的一般均衡定價[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐，2011，31（12）：34-42.

[10]X JIN， A ZHANG. Decomposition of optimal portfolio weights in a jumpdiffusion model and its applications [J]. Review of Financial Studies， 2012， 25（9）：2877-2919.

[11]S MATARAMVURA， B KSENDAL. Risk minimizing portfolios and HJBI equations for stochastic differential games [J]. Stochastics An International Journal of Probability and Stochastic Processes， 2008（4）：317-337.

[12]T K SIU. A game theoretic approach to option valuation under Markovian regimeswitching models [J].Insurance： Mathematics and Economics， 2008（42）：1146-1158.

[13]X ZHANG， T K SIU. Optimal investment and reinsurance of an insurer with model uncertainty [J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2009（45）：81-88.

[14]J ZHOU， G YIN， FU WU.Optimal reinsurance strategies in regimeswitching jump diffusion models： Stochastic differential game formulation and numerical methods[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2013（53）：733-746.

[15]A BENSOUSSAN， C SIU， S YAM，et al. A class of non-zero-sum stochastic differential investment and reinsurance games [J]. Automatica， 2014（50）：2025-2037.

[16]S BROWNE. Stochastic differential portfolio games [J]. Journal of Applied Probability， 2000， 37 （1）：126-147.

[17]何朝林，孟衛(wèi)東.不確定性規(guī)避下的動態(tài)資產(chǎn)組合選擇[J].系統(tǒng)工程學(xué)報，2009，24（2）：150-155.

[18]S BROWNE. Optimal investment policies for a firm with a random risk process： Exponential utility and minimizing the probability of ruin [J].Mathematics of Operations Research， 1995， 20 （4）：937-958.