基于貝賽爾曲線位圖矢量化方法的研究*

胡學峰，朱家明**，劉雅倩，朱 勇

（1.安徽財經大學統計與應用數學學院，安徽蚌埠233030；2.安徽財經大學金融學院，安徽蚌埠233030）

基于貝賽爾曲線位圖矢量化方法的研究*

胡學峰1，朱家明1**，劉雅倩2，朱 勇1

（1.安徽財經大學統計與應用數學學院，安徽蚌埠233030；2.安徽財經大學金融學院，安徽蚌埠233030）

針對簡單圖案的邊界線條提取，以所給圖中的黑白圖案為切入點，綜合分析了圖案輪廓特征點的坐標值數據，根據貝塞爾曲線的建立原理，筆者嘗試構建了基于貝塞爾曲線的圖形邊界線條提取、圖形邊界線條提取修正和簡單彩色圖形邊界線條提取等模型，運用Excel進行相應數據處理，并使用Photoshop、Matlab等軟件提取出圖形的邊界線條，Opencv軟件對擬合的線條進行了檢驗。最后，將所求結果和實際相比較，發現得到的矢量邊緣線圖案很大程度上接近于現實圖案。

位圖；貝賽爾曲線；雙線性差值；誤差分析；極限替代法；Matlab7

矢量圖從本質上只是使用曲線方程對圖形進行的精確描述，在以像素為基本顯示單元的顯示器或打印機上是無法直接表現的。將矢量圖轉換成以像素點陣來表示的信息，再加以顯示或打印，這個過程稱之為柵格化。柵格化的逆過程相對比較困難。本文運用matlab圖像技術提取出圖1中圖像輪廓點，并依照貝賽爾曲線對其進行分類成n段間斷曲線進行復原，再將這n段進行拼接形成模擬出來的原圖形。最后將這種方法推廣，得到一種基于貝賽爾曲線的位圖反柵格化模型。

1 柵格化的位圖圖案的邊緣線的提取

1.1 研究思路

將問題拆解成兩部分：第一，圖形邊緣線的提取；第二，對提取的邊緣線矢量化。首先，通過matlab對題中已給定的圖形（見圖1）進行輪廓特征點提取，得到輪廓特征點的坐標位置之后，對這些特征點的位置進行插值并擬合，其次，考慮到插值之后的圖像不夠圓滑，為了減小誤差，將圖像等分切割為四部分，然后利用貝塞爾曲線的思想，對已插值后的輪廓特征點分別進行貝塞爾曲線的曲線矢量化，從而得到四個部分矢量化輪廓曲線圖，最后將四部分的曲線圖結合起來形成一個整體輪廓圖。

圖1 柵格化圖

1.2 數據處理

（1）去除噪點干擾

由于對于掃描后的圖像,其經過柵格化之后圖片上存在許多噪點,在矢量化的預處理階段,必須先將其剔除,以消除對矢量化的干擾。這里筆者利用photoshop對圖片進行噪點剔除[2]。

（2）輪廓特征點坐標值提取

用matlab程序分別提取出四組圖形(1)、(2)、(3)、(4)的輪廓特征點。

（3）圖像分割

將曲線分割成四個部分理論依據：第一，對整個圖形的輪廓特征點進行擬合的話，數據過少，誤差太大，筆者采取將輪廓特征點連成的圖像分割成四個部分的辦法（見圖1）；第二，一條曲線可在任意點切割成兩條或任意多條子曲線，每一條子曲線仍是貝塞爾曲線；第三，一些看似簡單的曲線（如圓）無法以貝塞爾曲線精確的描述，可以將其分成四個部分，當每個內部控制點對單位圓上的外部控制點水平或垂直的的距離為時，分成四段的貝塞爾曲線，可以小于千分之一的最大半徑誤差近似于圓，同理類推到一些不規則的封閉曲線當中，將其切分為四個部分（如圖2）。

圖2 圖形輪廓特征點的散點圖

（4）輪廓特征點坐標插值處理

由于提取的輪廓特征點可能過于稀少，導致重構的輪廓失真，這里采取插值的辦法。處理輪廓特征點的流圖：

圖3 輪廓特征點插值處理流程圖

第一，光滑區域一維插值處理：對于很光滑區域，即沒有尖點的情況下采取一維插值法。這里筆者對切割的四塊圖片中的第（1）、（2）、（4）塊圖（見圖2）都使用了一維插值法。

第二，非光滑區域雙線性插值處理：雙線性插值可以有效地消除鋸齒現象,插值質量高。這里筆者應用雙線性插值的思想對圖像（3）（圖2）進行類雙線性插值處理。見圖4。

圖4 圖像(3)邊緣非光滑區域雙線性處理流程圖

圖5 邊緣特征點補充圖

接下來進行第一步：X方向的線性插值:

第二步：做Y方向的點P1和P2插值,由R1與R2計算P點:

這樣對每兩個點都做如上處理，用matlab編程輔助，可以對邊緣的非光滑區域做出很好的插值。

1.3 理論方法——基于貝塞爾曲線的圖形邊界線條提取理論

線性貝塞爾曲線給定點P0，P1，B(t)代表經過t時間的坐標軸位置，線性貝塞爾曲線只是一條兩點之間的直線。這條線由下式給出：

二次方貝塞爾曲線的路徑由給定點P0，P1，P2的函數B(t)追蹤：

則n階貝塞爾曲線可如下推斷。給定點P0，P1…Pn，其貝塞爾曲線即曲線的參數形為：

將這個n階的貝塞爾曲線作為筆者的理論模型。

1.4 結果的分析

利用上面求出的模型通過matlab軟件編程求出四塊圖形的分別擬合情況，如圖6。

將圖像雖然切割成四部分，但是四部分的像素點的坐標還是不變的，所以根據坐標再將這四塊擬合曲線組合在一起，形成如下的圖像邊緣線提取圖（圖7）。

圖6 圖形輪廓特征點擬合圖

圖7 圖案的邊界線條圖

2 位圖邊緣線的提取優化和推廣

2.1 預處理與分析

因為上文中進行四部分切割之后發現原圖與擬合后的矢量曲線不能很好地進行重合，考慮到在取點時由于對某些不是圓滑的點直接就進行模擬，而貝塞爾曲線本身模擬出來的是一條曲線，這導致原圖出現棱角的地方會由于曲線擬合而出現棱角磨平，不符合原圖。

為此筆者用以下切割點的規則，即轉折點切割原則：

第一，根據已知的位圖文件判斷有哪些轉折點，并進行標記。

第二，對已讀出的輪廓點我們根據位圖文件以特殊的轉折點作為切割點，對由于噪點而產生的轉折點丟失給予補點，并以此為端點。

使用轉折點切割原則進行輪廓點切割后，應出現n組輪廓點，每組輪廓點的粗略連線應該是一條光滑的圓弧，再利用貝塞爾曲線進行擬合。

2.2 柵格化位圖圖案邊界線的提取方法修正

（1）數據預處理

①直線區域與曲線區域的檢測:當相鄰3點的斜率相等(直線,斜線)。其余情況用圓弧曲線區域。

②對于直線區域處理方法：由于直線區域的存在會使得提取的圖形邊界線線條過于粗糙生硬，并且會對下一步的曲線擬合造成麻煩，也會使得圖片失真，所以對于直線區域，要采取必要的處理。

當相鄰3點的斜率相等(即為直線,斜線)時候，取以下兩種方法：

長度約束的分段方法：即為在此直線區域上每隔一定距離取得一點作為分段點,按序插入到直線區域兩端點之間即可。

坐標微調法：于一個坐標可能出現多個坐標(如圖中的點有多個)的情況，便需要對插值點的選取做一定微調，采取對于做修改后帶入，再進行spline插值擬合。

③對于圓弧曲線區域處理辦法：處理方法采取前文中一樣的插值辦法。

(2)理論準備

首先用matlab提取出該圖像的輪廓特征點位置，再對圖像輪廓線的依照轉折點重新切割成線段AB,BC,AC三種情況，見圖8。

圖8 圖像輪廓切割圖

仍然按照貝塞爾曲線擬合的辦法，得出曲線的方程擬合模型：

(3)位圖圖案邊界線的提取修正：

對于AC曲線進行擬合的結果精確卻太復雜，所以繼續對AC段曲線進行切割，切割成AB,BC,CD,DE,EF,AF六段，切割情況如下：

圖9 圖像輪廓再切割圖

圖10 圖像輪廓擬合曲線

對這五段曲線的輪廓特征點在進行貝塞爾曲線擬合的基礎下，可分別用matlab進行擬合并求解出AE、EF、DF、CD、BC、AB段相應貝塞爾參數方程結果，并作出擬合圖（如圖10）。

由于采取的是貝塞爾函數擬合，而貝塞爾函數特征即為很多高次項之和，故結果雖然復雜，但是能夠精確擬合出曲線輪廓。

（4）位圖圖案邊界線的提取的檢驗

①檢驗思想

根據貝塞爾曲線的推理過程，其本身無法用一般方程進行表示，則用參數方程：表示貝塞爾曲線。但參數方程本身無法利用公式

進行方程擬合優度的檢驗，為此筆者提出極限替代法思想。

極限替代法：

圖11 值的模糊取值示意圖

②檢驗結果

AE段擬合曲線R2=0.9431,擬合效果很好；EF段擬合曲線R2=0.9946擬合效果非常好；DF段擬合曲線R2=0.9921，擬合效果非常好；CD段擬合曲線R2=0.9796，擬合效果非常好；BC段擬合曲線R2=0.7572擬合效果較好；AB段擬合曲線R2=0.9898，擬合效果非常好。

綜上所有的曲線區域都通過了擬合優度的檢驗。這一點從圖9和圖10對比也可以看出。

3 結論

對于一般平面圖形，采用一般的線性擬合或者十次以內的函數擬合能大概求出元圖形輪廓，但本文的貝茨擬合方法能夠較為準確地運用編程方法求出不具備簡單變化規律的輪廓線，且擬合函數唯一，都是n次以內的貝茨函數，可以在一定誤差范圍內較為精確模擬出原曲線。

注釋及參考文獻：

[1]2014年第七屆“認證杯”數學中國數學建模網絡挑戰賽B題[EB/OL].http://www.tzmcm.cn/.

[2]用ps技術處理圖片噪點：[EB/OL]http://jingyan.baidu.com/article/b907e627f170fb46e6891c5c.html.

[3]嚴蘭蘭,宋來忠,李軍成.有理Bezier曲線的拼接[J].三峽大學報（自然科學版）,2005,27(5):469-471.

[4]姜啟源等.數學模型[M].北京:高等教育出版社,2003：440.

[5]楊桂元,黃己立．數學建模[M].合肥：中國科技大學出版社，2008:220.

[6]吳禮斌.經濟數學實驗與建模[M].南開：天津大學出版社,2009.

Bitmap Vector Method and Promotion Based on Bessel Curve

HU Xue-feng1,ZHU Jia-ming1，LIU Ya-qian2，ZHU Yong1
(1.School of Statistics and Applied Math，Anhui Finance and Econemics University，Bengbu,Anhui 233030；2.School of Finance，Anbui Finanle and Economics University，Bengbu，Anhui 233030)

This paper aims at extracting the boundary line of simple graphics.We select black and white pattern as the breakthrough point and analyze the data of coordinates point outline feature comprehensively.According to the principle of establishing the Bessel curve,based on the model,we build a graph boundary line of Bessel curve extraction,graphic boundary line extraction correction and simple color graphic boundary line extraction etc.Using Excel to process the data,using Photoshop,Matlab and other graphics software to extract the boundary lines,using Opencv to test the fitness of the lines.Finally,we compared the results to the actual and found that the vector edge line pattern close to the reality of pattern to a large extend.

bitmap;bessel curve;bilinear interpolation;error analysis;limit substitution method;Matlab7

TP391.72；TP391.41

A

1673-1891（2015）02-0072-04

2015-03-08

國家自然科學基金（項目編號：11301001）；安徽財經大學教研項目（項目編號：acjyzd201429）。

胡學峰（1994-），男，安徽滁州人，本科在讀，研究方向：信息與計算科學。**為通信作者朱家明。