淺談初中數學教學中的中流砥柱

劉鳳輝

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）08-0155-01

教育，作為與人類社會歷史共始終的現象活動，對于任何一個具有社會學意義的人都有著深遠的影響。教育已經成為現代社會成員生存和發展的重要基礎和條件。那么作為一名人民教師我們有責任更有義務為社會傳播良好的教育。所謂科學的對象就是對事物特殊的矛盾性的研究，任何一門學科都有自己的研究對象，這是一門學科是否獨立的標志，作為一名初中的數學教師，我們應該承擔起這樣的責任，繼續前人的研究，探索數學的奧妙。

如果我們要找這樣的一個定理對它進行深刻的研究和探索，它的出現稱得上是數學發展史上的里程碑，那么勾股定理稱得上為最佳的選擇。勾股定理又叫商高定理、畢氏定理，或稱畢哥拉斯定理：英文翻譯 Pythagoras Theorem在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等于兩條直角邊邊長平方之和。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，就有這條定理的相關內容：從這段話中我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現了并且應用勾股定理這一重要的數學原理了。在西方同樣有文字記載最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例。這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫。

勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家、畫家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單又實用，更容易吸引人，才使它成百次反復被人論證。有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。

關于勾股定理的證明幾千年來也有著數百種的證明方法，在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源于中國和希臘。中國方法：畫兩個邊長為（a+b）的正方形，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。以上證明方法之所以精彩，是它所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念：⑴全等形的面積相等；⑵一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。我國數學家趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法。1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的這一證明。五年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統。后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統”證法，這在數學史上被傳為佳話。在學習了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。

如下證明勾股定理的方法：設△ABC中，∠C=90°，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，因為∠C=90°，所以cosC=0。所以a2+b2=c2。這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是余弦定理的證明來自勾股定理。人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個多面體表面積之和。若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。

所謂知識并不是單的老師教而學生學，而是要根據學生自身的情況和知識經驗建構的，在數學教育中教師的作用更為顯著，不僅是知識的授予者，更是讓學生學會獨立探索的引導者，數學的領悟博大精深，需要我們更長久深遠的去探索和琢磨。在數學這片領域中，我們要在前人的基礎上創造出屬于自己的新天地！