如何做好小波解分數(shù)階微分方程時的誤差估計

牛紅玲

【摘 要】針對求解分數(shù)階微分方程數(shù)值解和所得結果誤差大小問題.采用Haar小波分數(shù)階積分算子矩陣方法，得到一類變系數(shù)分數(shù)階微分方程數(shù)值解.利用所得算子矩陣將原分數(shù)階微分方程轉化為代數(shù)方程組，進而便于編程求解.討論算法的誤差分析，給出相應的誤差估計式，并證明該算法是收斂的.結果表明：隨著點數(shù)的增多，所得數(shù)值解與精確解的誤差也越來越小.最后，數(shù)值算例驗證了方法的有效性以及理論分析的正確性.

【關鍵詞】Haar小波；變系數(shù)；分數(shù)階微分方程；算子矩陣；誤差分析；誤差估計式；精確解；數(shù)值解

分數(shù)階微積分計算是一個久遠的話題，它最早起源于Leibniz和Newton建立的整數(shù)階微積分理論初期.從17世紀末至今，分數(shù)階微積分理論已經(jīng)發(fā)展了幾百年.在世界各國科研人員的研究和推動下，分數(shù)階微積分理論取得了巨大進展，實際中的應用發(fā)展快速.復物理、力學、生物和工程的建模問題是推動分數(shù)階微積分理論和應用研究的力量，這些模型中的分數(shù)階微積分的階數(shù)具有一定的物理意義和幾何意義.

近年來隨著分數(shù)階導數(shù)成為描述各類復雜力學與物理行為的重要工具，分數(shù)階微分方程的數(shù)值算法研究也備受關注.針對不同類型的分數(shù)階微分方程已經(jīng)提出不同的數(shù)值算法，這些算法主要有，有限差分法、Adomian分解法，廣義微分變換法等.小波法求分數(shù)階微分方程數(shù)值解是最近新型的數(shù)值方法.根據(jù)小波基函數(shù)的不，相應的提出了許多小波方法求解分數(shù)階微分方程，Rehma和Khan利用Legendre 小波求解線性和非線性分數(shù)階微分方程.Saeedi等采用CAS小波求解一類非線性Fredholm積分微分方程.但就該方法誤差分析的研究還相對較少.本文基于Haar小波分數(shù)階積分算子矩陣研究一類分數(shù)階微分方程，重點討論該算法的誤差分析.

6 結論

利用Haar小波分數(shù)階積分算子矩陣求解了一類分數(shù)階微分方程，將原問題轉換為求解線性代數(shù)方程組問題.誤差分析證明了該算法是收斂的，同時給出了誤差估計式，得到了相應的誤差上界.文中所提出的方法計算量小，是一種有效的算法.

【參考文獻】

[1]任建婭，尹建華.小波方法求一類變系數(shù)分數(shù)階微分方程數(shù)值解[J].遼寧工程技術大學學報：自然科學版，2012，31（6）：925-928.

[2]尹建華，任建婭.Legendre 小波求解非線性分數(shù)階Fredholm 積分微分方程[J].遼寧工程技術大學學報：自然科學版，2012，31（3）：405-408.

[3]Saeedi H，Mohseni M.A CAS wavelet method for solving nonlinearFredholm integro-differential equations of fractional order[J].Commun.Nonlinear Sci. Numer. Simulat.，2011，16（4）：1154-1163.

[責任編輯：劉展]