從一則教學案例談數學課堂教學

彭玉光

數學課程標準（2011版）提出：“義務教育數學課程要面向全體學生，適應學生個性發展的需求”“不同的人在數學上得到不同的發展”。本文以《比例的基本性質》為例，闡述以人為本的數學課堂教學中如何促進學生更好地發展。

一、案例回放

下面是六年級下學期《比例的基本性質》一課部分教學過程及課后研討的回放。

教師讓學生通過計算，發現三個比例的外項積都等于內項積，進而引導學生提出初步猜想：在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。然后讓學生舉出更多的例子來驗證，再讓學生尋找反例。上述活動完成后，正當教師想引導確認猜想成立時，部分學生提出了不同意見。

學生1：雖然有很多例子證明它是成立的，但也不能說明對于所有比例它都是成立的。

學生2：有那么多的比例式子，現在找不到反例，不等于一定沒有啊。

聽了這兩位學生的發言，其他學生也紛紛議論起來，覺得他們說得有道理。

教師（想了想）：在我們驗證的比例中，都具有外項積等于內項積這一性質，由于時間有限，我們總不能把所有比例都拿來驗證吧。實際上，數學家已經證明了這個性質是成立的。

學生2：怎樣證明的？怎么說明所有比例都成立呢？（該學生不依不饒）

教師（稍作了猶豫，之后下定了決心）：其實有一種方法可以證明……

隨后，教師引導學生用字母式來驗證：由=（b、d≠0），等式左右兩邊同時乘bd，可得ad=bc，由此證明所有的比例具有外項積等于內項積這樣的性質。

最終學生心悅誠服地“承認”了比例的基本性質。

課后，上課教師“心有余悸”地說：用字母，即代數方法來驗證比例的基本性質是被學生“逼”出來的，并非課前所預設。當時也猶豫著用不用，因為教材里沒有這樣的要求。但使用的效果確是令人滿意的，學生認可了比例的基本性質。也很慶幸當時走出了這一步，進一步海闊天空啊。

對此，聽課教師有不同看法。

有人認為：用代數方法來驗證比例的基本性質，超出了一般學生的接受能力，類似的問題應留到中學解決。

還有人認為：用代數方法來驗證比例的基本性質“超綱”了，既然教材沒有要求，就沒有必要講，學生以后會慢慢理解的。

也有人認為：教師的處理是恰當的，從學生的反映來看，效果是不錯的。

各種看法中，持反對意見的教師占了大多數。

二、案例分析

課后聽課教師的討論，引起了筆者的思考：用代數方法驗證比例的基本性質有其必要性嗎？如有必要，學生能理解與接受嗎，教學上具有可行性嗎？大多數教師反對用代數方法驗證比例的基本性質，原因何在？又折射出教師怎樣的教學理念呢？

1. 用代數方法驗證比例的基本性質的必要性分析。

（1）從學生接受比例的基本性質這一結論的需要看。

本課教師采取“提出問題——自主計算——匯報交流——初步發現——舉例驗證——概括總結——字母表征”這一常用的教學思路。這也是一個猜想、驗證的歸納推理過程。但令人意外的是，這個班的學生對概括總結出的規律并不認可，與教師“較起真來”，原因何在？

這與教材所采用的不完全歸納法的局限性密切相關。不完全歸納法以事物的部分對象就得出了事物的一般結論，帶有想象、猜測的成分，其結論需要經過論證上才能得以確認。顯然，部分學生發現了運用不完全歸納法在推導比例的基本性質過程中的漏洞，而與教師“較真”的。如果不用代數方法驗證比例的基本性質對于所有比例均成立（一般化），不僅使學生難以接受其結論，也會打擊學生“敢于質疑，勤于思考”的積極性。

（2）發展學生的一般化思維模式的角度看。

卡帕特曾經指出，代數是算術推理和定量推理的一般化，代數思維的核心就是一般化的思想。通過用代數方法驗證比例的基本性質這一代數推理活動，對于發展學生的一般化思維模式，理解代數思想，乃至實現中小學數學教學的有效銜接無疑是大有裨益的。

2. 用代數方法驗證比例的基本性質的可行性分析。

不少教師認為，推導比例的基本性質用合情推理就好了，代數方法的證明學生是理解不了的。事實果真如此嗎？

林崇德教授研究后認為，分析小學生數學推理能力的水平可關注四項指標：一是推理發生的范圍，即是在算式運算中的推理還是在初步代數式中的推理；二是推理的步驟，即直接推理還是多步間接推理；三是推理的正確性；四是推理的品質抽象概括性，即重復過程還是進行邏輯推論獲得本質的結論。

按照上述指標，林崇德教授認為，小學生運算中歸納推理和演繹推理的能力可分為四級水平。其中，歸納推理能力的四級水平為：一是算術運算中直接歸納推理；二是簡單文字運算中直接歸納推理；三是算術運算中間接歸納推理；四是初步代數式的間接歸納推理。演繹推理能力的四級水平為：一是簡單原理、法則直接具體化的運算；二是簡單原理、法則直接以字母具體化的運算；三是以算術原理、法則和公式作為大前提，要求合乎邏輯進行多步演繹和具體化，正確地得出結論；四是以初等代數式或幾何原理作為大前提，進行多步演繹推理，正確地得出結論。林崇德教授對城鄉五年級的學生進行了測試，發現處于歸納推理和演繹推理的能力第四級水平的學生分別為36.7%和56.7%。

蘇州大學的楊彥教授認為，小學階段要進行代數推理的教學，并且提出如果能夠給予學生一定的學習機會和條件，采用適當的教學方法，學生可以從小培養代數推理能力，而這將有益于其將來代數學習及數學能力的養成。

由有關專家的研究可以看出，小學生數學推理能力具有不同的水平，他們進行代數推理是可行的。對于六年級學生而言，具有歸納推理和演繹推理的能力第四級水平的學生無疑會比五年級的學生更多。這從上述案例學生的表現也可為佐證，學生的“較真”是學生思維上的進步，是學生學習的“最近發展區”，說明學生已經具備從“合情推理”向“演繹推理”邁進的思維水平。因此，用代數方法驗證比例的基本性質是具有合理性和可行性的。當然，要求全體學生都能理解、掌握用代數方法驗證比例的基本性質的過程與方法是不現實的，部分學生還需要教師的指導與幫助才能有所收獲。對此，教師教學中應根據學生的實際認知水平作不同的要求，使不同的學生得到相應的發展。

3. 部分教師反對用代數方法驗證比例的基本性質的成因分析。

課堂之上，當固有的算術思路與方法已無法說明、無法讓學生接受“比例的基本性質”這一結論時，不少教師仍然不敢越代數方法這一“雷池”半步，出自何因呢？

筆者認為，有的教師是把用代數方法進行推理簡單的歸結為“中學的教學內容”，不想碰；有的教師則由于教材沒有呈現有關內容，教師用書沒有明確提出有關要求，不敢碰；有的教師則認為相關學生肯定都是接受不了，碰不得。

這顯示一些教師對于學生認知發展和思維發展的特點與規律的了解還不夠深入，思想上存在著“唯教材”與“經驗至上”的錯誤認知，教學上缺乏根據課堂實際生成狀況順應學生思維適時調整教學的意識。

三、案例啟示

如何貫徹新課程理念，用好新教材，本案例能給我們一些啟示。

1. 尊重差異，因材施教。

“不同的人在數學上得到不同的發展”是新數學課程重要的理念之一。學生的認知水平、思維發展，既有共性，又有差異性；既有一般性，又有特殊性。實際教學中，把學生的一般水平看作是每個學生的實際水平，或者是把部分學生的認知水平當作是全體學生的共同水平，顯然是不適當的。關注學生思維發展的一般性，尊重學生的發展差異，進而因材施教，是教學設計與實施的重要基點。良好的數學教育，理應客觀地對待人的差異性，讓更多的學生有機會接觸、了解乃至深入研究自己感興趣的數學問題，最大限度地滿足每一個學生的需求，為有特殊數學才能和愛好數學的學生，提供更多學習和發展的機會。

2. 不唯教材，善用教材。

“課程內容的選擇要符合學生的認知規律” 是新數學課程重要的理念之一。課程的內容和意義在本質上并不是對所有人都相同的，在特定的教育情境中，每一位教師和學生對給定的內容都有其自身的理解，對給定內容的意義都有其自身的解讀，從而對給定的內容不斷進行變革與創新，以使給定的內容不斷轉化為“自己的課程”。因此，教師設計與實施教學不能“唯教材”，而應“用教材”，使教材在基于學生認知規律、學生實際認知水平的基礎上為教師所用。

3. 辯證看待預設與生成的關系。

誠然，課堂教學是一種有目的、有意識的教育活動，預設是課堂教學的基本特性。教師在課前必須對教學目的、任務和過程有一個清晰、理性的思考和安排。但是，部分教師過分強調預設，強調按原來的設計上課。這樣就會限定和束縛學生的自由發展。學生作為一個生命個體，具有主觀能動性。帶著自己的經驗、思考和興趣參與課堂活動，使課堂呈現出多樣性、豐富性和隨機性。

有些人把“生成”看成一種意外收獲，一種“教育智慧”，而我更愿意把每次的生成，作為一種經驗和思考，儲備成為下次教學設計的預設之一，根據課堂實際靈活調整教學，所謂“該出手時就出手”。只有積累越多，才能更好地取舍有度，教學才能真正“海闊天空”。這樣預設與生成就互相轉化，達到統一。

綜上所述，只有真正以學生發展為本，課程的選擇圍繞學生的需求及認知水平，發揮學生在課堂上的主體地位，學生才能得到生動活潑的發展，才能真正實現“不同的人在數學上得到不同的發展”。

責任編輯 羅 峰