“等時圓”模型及形異質同的“等時圓”

宋早雷

摘 要：在處理物理問題時，常常借助熟知的模型，如，質點模型、子彈打木塊模型、人船模型、等時圓模型……這樣可以把復雜情景簡明化，抽象問題具體化，疑難問題清晰化，下面著重來研究一下“等時圓”模型及形異質同的“等時圓”問題。

關鍵詞：模型；等時圓；最高點；最低點；形異質同的“等時圓”

一、“等時圓”模型的建立

如圖1所示，ac、bd是豎直面內兩根固定的光滑細桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，b點為最低點。每根桿上都套有一個小滑環（圖中未畫出），兩個滑環分別從a、d處自由釋放（初速為0），用t1、t2依次表示兩滑環到達c和b所用的時間，則它們的時間t1、t2分別為多少？

分析：設圓的半徑為R，ac桿與水平面的夾角為α，則ac桿的長度L=2Rsinα ①

滑環沿ac桿下滑的加速度a=gsinα ②

設下滑時間為t1，則L=at21 ③

由以上三式得，t1=2，同理可得滑環從d到b的t2=2。可見滑環下滑時間與細桿傾角無關，都等于物體從圓上最高點自由下落到最低點的時間，即t=2。

由此我們可以得出“等時圓”模型的兩個結論：

結論1：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑到圓的最低點，則到達圓的最低點的時間相等，或從圓上最高點由靜止沿光滑弦下滑到圓周上各位置的時間相等。

結論2：物體在圓上沿光滑弦從靜止下滑到圓的最低點的時間等于物體在圓上沿光滑弦從最高點下滑到圓周上各位置的時間，都等于物體從圓上最高點自由下落到最低點的時間，即t=2。

二、形異質同的“等時圓”模型

如果質點不是從圓的最高點下滑或不是到達圓的最低點時，我們應怎樣處理此類問題呢？

這就是下面我們要研究的形異質同的“等時圓”模型。

例題1：如圖2所示，oa、ob、oc是豎直面內三根固定的光滑細桿，o、a、b、c、d位于同一圓周上，d點為圓周的最高點，c點為最低點。每根桿上都套著一個小滑環（圖中未畫出），三個滑環都從o點無初速釋放，用t1、t2、t3依次表示滑環到達a、b、c所用的時間，則有（ ）

A.t1=t2=t3 B.t1>t2>t3 C.t1t1>t2

分析：由于o點不是最高點或最低點時間上看，不滿足“等時圓”模型條件。過o點做一條豎直線，再分別過a、b、c做oa、ob、oc的垂線交豎直線與p、q、e。如圖3所示，利用結論2得，沿oa的運動時間t1即是由o點自由下落到p的時間。t2、t3同理可得，故答案是B。

例題2：如圖4所示，ao、bo、co是豎直面內三根固定的光滑細桿，o、a、b、c、d位于同一圓周上，d點為圓周的最低點，c點為最高點。每根桿上都套著一個小滑環（圖中未畫出），三個滑環分別從a、b、c三點無初速釋放，用t1、t2、t3依次表示滑環到達o所用的時間，則有（ ）

A.t1>t2>t3 B.t1

C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3

分析：由例題1分析同理可得，如圖5，故答案是A。

例題3：如圖6所示，e、f分別為圓周的最高點和最低點，一小滑塊（可視為質點）分別沿著圓周上的斜面ab、cd滑下，用t1、t2分別表示小滑塊由靜止沿斜面從a到b、c到d的時間，則t1、t2的關系是（ ）

A.t1=t2 B.t1>t2 C.t1

解析：由于a、c兩點不是最高點，b、d兩點也不是最低點，直接從時間看，也不滿足“等時圓”模型條件。現在過a、c兩點分別做兩條豎直線，再分別過b、d兩點做斜面ab、cd的垂線交兩豎直線于p、q兩點，如圖7所示，利用結論2可得，t1=tap，t2=tcq，故通過判斷豎直線ap和cq的長度即可得答案是C。

注意：幾何作圖時一定要細致、準確。

從上面形異質同的“等時圓”的三個例題，我們可以清晰地得到這樣一個結論：

結論3：質點從圓上較高點（不是最高點）沿光滑弦或軌道由靜止下滑到圓上較低點（不是最低點）的時間只由過光滑弦或軌道的較低點（不是最低點）作垂線交過起點的豎直線于某一點，則質點沿光滑弦或軌道由靜止下滑的時間就等于質點從起點到這一點自由下落的時間。

總之，我們在處理物體從圓上沿光滑弦或軌道由靜止下滑到圓上的某一點的時間問題時，我們應先分清物體是不是從圓上最高點由靜止下滑到圓周上的不同點，還是從圓上不同點由靜止下滑到圓周的最低點問題。如是這類問題我們可直接用“等時圓”模型處理。如果遇到是物體從圓上較高點（不是最高點）沿光滑弦或軌道由靜止下滑到圓上較低點（不是最低點），我們應掌握形異質同“等時圓”的解題的基本規律。只有這樣我們才能從紛繁、多變、形異的物理情景中構建出質同的“等時圓”模型，才能利用好“等時圓”模型，才能更深刻地理解“等時圓”模型的理論意義及實際的應用意義。

參考文獻：

陳棟樑.“等時圓”的等時“原理”在物理問題解決中的妙用[J].物理教師，2013（3）：28.