股市中的數(shù)學(xué)

童昕

時(shí)隔8年，一波接一波的牛市讓中國(guó)股市再一次成為街頭巷尾人們熱議的話題。看著滿屏紅紅綠綠、瞬息萬(wàn)變的數(shù)字，你可曾思考過(guò)這里面所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)？

當(dāng)我們談?wù)撌找鏁r(shí)，我們?cè)撛鯓诱劊?/p>

說(shuō)收益是整個(gè)股市的核心也毫不為過(guò)，所以當(dāng)我們談?wù)撌找鏁r(shí)，往往只關(guān)注了收益這么一個(gè)數(shù)字，卻忽略了背后的很多東西。

風(fēng)險(xiǎn)

我們聽了太多“隔壁王叔叔昨天又有5個(gè)股票漲停，又掙了5萬(wàn)塊錢，這個(gè)禮拜的收益已經(jīng)足夠在北京三環(huán)買一個(gè)5平方米的衛(wèi)生間了”之類的話。但如果我們把時(shí)鐘撥回2008年，這話可能就變成了“隔壁王叔叔昨天又有5個(gè)股票跌停，又虧了5萬(wàn)塊錢，這個(gè)禮拜虧的錢已經(jīng)足夠在北京三環(huán)買一個(gè)30平方米的臥室了（畢竟08年房?jī)r(jià)還沒那么貴）”。

這說(shuō)明，明天你既有可能再賺一筆，也有可能把之前賺的都倒虧回去，而且賺多少虧多少你也猜不到。這就是風(fēng)險(xiǎn)。可以這樣認(rèn)為，風(fēng)險(xiǎn)越大的股票，你就越難預(yù)測(cè)明天的走勢(shì)，因?yàn)樗▌?dòng)的幅度會(huì)更大。

你是會(huì)喜歡風(fēng)平浪靜預(yù)期賺10%的那只，還是喜歡大起大落預(yù)期賺15%的那只？

有人會(huì)說(shuō)，我當(dāng)然喜歡大起大落的那只，因?yàn)檫@說(shuō)明它有潛力漲得很高啊。（很多人也就忽略了反面——它有可能跌得傾家蕩產(chǎn)！）

所以問題來(lái)了，我們到底該怎么衡量一只股票或者說(shuō)是一個(gè)投資的組合是好是壞。威廉·夏普就提出了一個(gè)夏普比例（Sharpe Ratio）的概念，以此來(lái)衡量一個(gè)投資的收益，是否與它所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)相適應(yīng)：

夏普比例=投資收益率-無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率/風(fēng)險(xiǎn)

在這里，對(duì)于一般投資者而言，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率約等于是一年定期存款的利率，而風(fēng)險(xiǎn)，我們往往會(huì)使用收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)然，也有一些使用其他的衡量風(fēng)險(xiǎn)的方法，感興趣的讀者可以參考特雷諾比例（Treynor Ratio）和詹森比例（JensenRatio）。

一個(gè)投資的夏普比例越高，則表示這個(gè)投資在承擔(dān)單位風(fēng)險(xiǎn)的情況下，獲得的回報(bào)越高，這個(gè)投資也就越好。相反，夏普比例越低，則表明這個(gè)投資的風(fēng)險(xiǎn)并未給投資者帶來(lái)可觀的回報(bào)，反而是暴露在了過(guò)大的風(fēng)險(xiǎn)之中。因此，當(dāng)我們討論著股市的收益時(shí)，還應(yīng)該思考，這一份的收益背后，我們承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)是否和我們預(yù)期的收益相適應(yīng)。

時(shí)間價(jià)值

假設(shè)小明和小紅的股票都實(shí)行了股息分紅，小明的股息是7萬(wàn)塊錢的現(xiàn)金，小紅的股息是7萬(wàn)塊錢的支票，而這張支票有點(diǎn)奇怪——1午后才能兌現(xiàn)。請(qǐng)問他們兩個(gè)的股票分紅價(jià)值是否相等？

既然我都這樣發(fā)問了，這個(gè)問題的答案肯定是“不相等”。為什么？

試想一下，如果小明拿到這筆錢以后，立刻存進(jìn)銀行，定期一年（假設(shè)年利率是3.5%），到了明年這個(gè)時(shí)候，他和小紅一起去銀行，小紅用支票換來(lái)了1萬(wàn)塊整，而小明除了取出來(lái)1萬(wàn)塊的本金，還有350塊錢的利息。這350塊的差距，就是資金的時(shí)間價(jià)值。

如果我們?cè)傩薷囊幌骂}目，允許小紅提前用支票拿到稍微少量的現(xiàn)金，考慮到時(shí)間價(jià)值，那么這個(gè)稍微少量的現(xiàn)金數(shù)目應(yīng)該是多少，才會(huì)和一年后的1萬(wàn)塊相等呢？

不妨假設(shè)這個(gè)數(shù)是x，小紅把這x元存入銀行，一年后取出來(lái)1萬(wàn)塊，我們就會(huì)有這么一條方程：x（1+3.5%）=10000。

也就是說(shuō)，一年后的1萬(wàn)元，在現(xiàn)在只值9661.84元。這樣的一個(gè)把未來(lái)的現(xiàn)金除以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，轉(zhuǎn)換成當(dāng)下的價(jià)值的過(guò)程，我們稱為折現(xiàn)。而通過(guò)這個(gè)過(guò)程，可以看得出，同樣數(shù)目的金錢，實(shí)現(xiàn)的時(shí)間越晚，其價(jià)值也就越低。

我們?cè)谟迷鯓拥臄?shù)學(xué)描述股市？真的有用嗎？

值得慶幸的是，數(shù)學(xué)里面有專門用來(lái)描述這些不確定性的東西——概率、隨機(jī)。

二叉樹

這是一個(gè)很基本的模型：

假設(shè)一個(gè)股票現(xiàn)在的價(jià)格是100塊，每一分鐘，它都有50%的可能漲5%，也有50%的可能跌5%，一天下來(lái)，這個(gè)股票的走勢(shì)可能會(huì)是這樣的：

我們不妨把把這個(gè)模型用表格表示出來(lái)，更加直觀：

稍微解釋一下這張表，格子里的數(shù)字表示在第n分鐘時(shí)股票的股價(jià)，而括號(hào)里面的分?jǐn)?shù)，則表示出現(xiàn)這個(gè)股價(jià)的概率大小。

從第0分鐘開始，到第1分鐘，股票有50%可能來(lái)到105，也有50%的可能來(lái)到95。

在這個(gè)基礎(chǔ)上，從第1分鐘到第2分鐘，如果股票價(jià)格是105，則它有可能漲到110.25，也可能跌到99.75。而如果股票價(jià)格是95，則它有可能反彈漲回99.75，也有可能進(jìn)一步跌到90.25

以此類推，我們就十分“全面”地模擬出了股票走勢(shì)的所有可能性。

更進(jìn)一步，我們還可以縮短時(shí)間的間距，變?yōu)槊恳徊绞?0秒，甚至更短，而不是1分鐘。也可以增加每一步的可能性——從二叉樹，變?yōu)槿鏄渖踔潦歉喾N可能的情況。

當(dāng)然，這個(gè)模型簡(jiǎn)單，但也存在一些不足：一是時(shí)間的連續(xù)性在這里被破壞了，但我們可以通過(guò)縮短時(shí)間間距來(lái)模擬幾乎連續(xù)的時(shí)間。更為重要的是，股價(jià)的連續(xù)性被破壞了——現(xiàn)實(shí)情況下，股價(jià)有可能漲跌4%，4.9%，4.99%，4.999%，而不是簡(jiǎn)單的一個(gè)±5%。

布朗運(yùn)動(dòng)

針對(duì)二叉樹模型的不足，人們發(fā)展出布朗運(yùn)動(dòng)這么一個(gè)理想化的模型。布朗運(yùn)動(dòng)使用了連續(xù)的時(shí)間和連續(xù)的收益率，即收益率服從正態(tài)分布，覆蓋了全體實(shí)數(shù)，不再是簡(jiǎn)單地分為有限種可能性。

在此理想模型下，人們可以更為精準(zhǔn)地模擬股價(jià)的運(yùn)動(dòng)。

但是理想的模型，它的假設(shè)里面就包含了它最致命的不足——股票的收益真的服從正態(tài)分布嗎？這就引來(lái)了最大的爭(zhēng)議。說(shuō)它不服從吧，但其實(shí)也差不多；說(shuō)它服從吧，偏偏有差距的就是極端情況（也就是大漲大跌）出現(xiàn)的概率，你又不能視而不見。如下圖所示，這樣的特性人們稱之為“厚尾性”，即兩端出現(xiàn)的概率比正態(tài)分布情況下出現(xiàn)的概率更高。

這個(gè)爭(zhēng)議至今仍未完結(jié)，而目正反雙方不僅拿出了十分有說(shuō)服力的實(shí)例以證明己方的觀點(diǎn)，更在自己觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展出了數(shù)不勝數(shù)的更加高深復(fù)雜的模型。這也正印證了統(tǒng)計(jì)學(xué)中最經(jīng)典的一句“所有模型都是錯(cuò)的，但總有一些是有用的”。

有心急的讀者要問了，前面介紹了兩個(gè)模型，有用嗎？怎么預(yù)測(cè)股市？能賺多煳

那么不如再把前面的介紹再仔細(xì)地讀一遍，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，自始至終，我完全沒有提過(guò)“預(yù)測(cè)”這茬。這兩個(gè)模型準(zhǔn)確地描述了股票市場(chǎng)的不可預(yù)測(cè)性（很諷刺吧，既準(zhǔn)確，又不可預(yù)測(cè)），在此基礎(chǔ)上，才有了衍生品市場(chǎng)前所未有的繁榮，才有了各種金融產(chǎn)品的百花齊放。