換種思路教“方程”

吳雷霞

對(duì)于人教版教材中“實(shí)際問題與方程（1）”的教學(xué)，教師往往會(huì)感到比較棘手，究其原因，從其他各版本的教材中可以發(fā)現(xiàn)，這塊內(nèi)容大多是直接從形如“ax±b=c”的有關(guān)問題解決入手，這樣可以讓學(xué)生體會(huì)到方程的優(yōu)越性。而人教版教材則安排了形如“a±x=b”的實(shí)際問題，對(duì)于這樣的“一步計(jì)算的實(shí)際問題用方程解決”，學(xué)生是體會(huì)不到“用方程”的便利，而煩瑣的“解”與“設(shè)”，反而會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生抵觸情緒。

然而，無論選用哪個(gè)版本的教材，學(xué)生通過學(xué)習(xí)“方程”這一單元后都很難形成主動(dòng)運(yùn)用方程解決問題的意識(shí)。學(xué)生在做作業(yè)、習(xí)題的時(shí)候經(jīng)常會(huì)習(xí)慣性地詢問教師是否需要運(yùn)用方程解題，在他們心目中方程并沒有成為一種首選的方法，用方程解答僅僅是因?yàn)轭}目或者教師的要求而迫于無奈的選擇。其最主要的原因還是由于教師和學(xué)生都沒有領(lǐng)悟到用方程解決問題這一思考方式的真諦所在。因此在設(shè)計(jì)與執(zhí)教“實(shí)際問題與方程（1）”一課時(shí)，筆者嘗試換種思路教學(xué)“方程”。

【教學(xué)案例】

一、尋找本質(zhì)，初步體會(huì)方程思維的特點(diǎn)

教師出示實(shí)際問題：爸爸今年45歲，比小紅大30歲，小紅今年多少歲？（學(xué)生獨(dú)立解決，并說想法）

教師隱去問題，出示：爸爸今年45歲，比小紅大30歲。

師：爸爸和小紅的年齡存在怎樣的關(guān)系？

生：爸爸比小紅大了30歲。

師：對(duì)，你能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表達(dá)小紅和爸爸兩人的年齡關(guān)系嗎？

生：45-x=30。

生：x+30=45。

生：45-30=x。

師：這三個(gè)式子都能表示小紅和爸爸的年齡關(guān)系，哪個(gè)關(guān)系式最直接明白？

生：我認(rèn)為第1個(gè)，直接就是“爸爸的年齡-小紅的年齡=相差的30歲”。

生：我覺得第2個(gè)也行，就是“小紅的年齡+爸爸大的30歲=爸爸的年齡”。

師：你們認(rèn)為呢？（學(xué)生也表示認(rèn)同）比較一下，第3個(gè)相對(duì)不直接點(diǎn)，是嗎？

師：通過解這個(gè)方程能夠解決什么問題？

生：小紅今年多少歲？

教師小結(jié)：是的，剛才我們并沒有解決問題，就是用式子表示小紅和爸爸的年齡關(guān)系，自然就得到了方程。而通過解這個(gè)方程，恰好能幫助我們解決這個(gè)問題，對(duì)嗎？這就是方程的奧秘所在。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在用算術(shù)思維來解決實(shí)際問題時(shí)，他們往往會(huì)根據(jù)問題，馬上條件反射地依據(jù)解決問題所需要的條件來進(jìn)行思考，從而解決問題。而方程思維的關(guān)鍵是先用語言表達(dá)相等關(guān)系，然后將語言表達(dá)抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)，形成方程。因此方程并非為了解決某個(gè)問題而產(chǎn)生，而是為了表達(dá)某種關(guān)系而產(chǎn)生，而產(chǎn)生的方程恰好能解決某個(gè)數(shù)學(xué)問題。

為了讓學(xué)生感受到這一過程，教學(xué)從“有問題”（生活中的實(shí)際問題，用自己的方法解決，一般學(xué)生都是用算術(shù)方法）到“沒有問題”（讓學(xué)生用最直接明白的式子來表達(dá)數(shù)量關(guān)系），在對(duì)比中讓學(xué)生感受到算術(shù)方法是將思維直接引向問題的解決，而方程則是順著題意表達(dá)數(shù)量關(guān)系，在這個(gè)過程中自然而然地產(chǎn)生方程，從而給學(xué)生解題提供一種新的思路：不用圍繞問題找信息、想算式，只需順著題意來表達(dá)數(shù)量關(guān)系，寫出方程，通過解方程，恰好可以解決某個(gè)實(shí)際問題。

二、建立模型，進(jìn)一步強(qiáng)化方程思維的特點(diǎn)

【片段一】

教師出示：小王有72張郵票，是小紅的3倍。請你用最直接、明白的式子來表示兩者的數(shù)量關(guān)系。

學(xué)生呈現(xiàn)：72÷x=3或者3x=72。

繼續(xù)提問：如果解這兩個(gè)方程，恰好可以解決哪個(gè)問題？

完整呈現(xiàn)：小王有72張郵票，是小紅的3倍。小紅有多少張郵票？

教師出示：白貓釣了128條魚，白貓釣的魚比花貓釣的少14條。用式子表示白貓和花貓釣魚數(shù)量的關(guān)系。

學(xué)生呈現(xiàn)：x-14=128，x-128=14。

繼續(xù)提問：如果求這兩個(gè)方程的解，又可以解決哪個(gè)問題呢？

完整呈現(xiàn)：白貓釣了128條魚，白貓釣的魚比花貓釣的少14條。花貓釣了多少條魚？

小結(jié)：剛才我們?yōu)榱吮硎緮?shù)量之間的關(guān)系，寫出了相等關(guān)系的方程。而這些方程又恰好幫助我們解決了某個(gè)實(shí)際問題，看來方程就是用來表達(dá)某種數(shù)量關(guān)系的。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生學(xué)習(xí)用方程解決問題的最大障礙是習(xí)慣了的算術(shù)方法。為了淡化這種條件反射，進(jìn)一步強(qiáng)化方程思維方式的特點(diǎn)，特意在第二環(huán)節(jié)安排了兩個(gè)強(qiáng)化練習(xí)，讓學(xué)生繼續(xù)用數(shù)學(xué)式子來表達(dá)數(shù)量關(guān)系，慢慢引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)方程，進(jìn)一步體會(huì)方程是表示數(shù)量之間相等關(guān)系的，這就是強(qiáng)化習(xí)得的過程，努力在學(xué)生頭腦中植入方程思想。

【片段二】

教師出示：女生有60人，女生人數(shù)比男生的2倍多10人。請你用式子表示出男生和女生人數(shù)的關(guān)系。

學(xué)生呈現(xiàn)：2χ+10=60；60-2χ=10；60÷2-10=χ。

分別解讀三個(gè)方程，學(xué)生感悟到前面兩個(gè)方程能夠清楚明白地表示出男女生人數(shù)關(guān)系，而第三個(gè)式子很費(fèi)力地想求出男生的人數(shù)，但通過畫線段圖分析發(fā)現(xiàn)還是錯(cuò)的。

提問：學(xué)到這里，你對(duì)方程又有什么新的認(rèn)識(shí)？

小結(jié)：看來今天又給我們提供了一種新的思路，不用圍繞問題來想算式，而是可以順著題意，表示數(shù)量關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】方程思維優(yōu)勢在于：無論題目中的條件有多么復(fù)雜，用方程解決問題只需要一個(gè)等量關(guān)系。無論什么問題，一旦使用方程方法，無需“步步為營地逼近問題”，只要理順題中已知與未知的關(guān)系，用字母代替未知量即可，思維難度大大降低，這個(gè)實(shí)際情境就很好地體現(xiàn)了這一特點(diǎn)。

學(xué)生在分析這題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，盡管最初并沒有問題，但想到的還是用算術(shù)方法來解決問題，但對(duì)于究竟是“60+10”還是“60-10”，又或是“60÷2-10”猶豫不決。而此時(shí)如果尋找題中的數(shù)量關(guān)系，“男生人數(shù)×2+10人=女生人數(shù)”或者“女生人數(shù)-男生人數(shù)×2=10人”，用數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)關(guān)系就自然產(chǎn)生方程。通過對(duì)比，可以很清楚地看到，用算術(shù)方法解決這樣的問題是需要逆向思考的，解決起來難度較大。而方程思維則比較順暢：只要用數(shù)學(xué)的式子表示出題目中的等量關(guān)系，方程也隨之產(chǎn)生，通過解方程問題也就迎刃而解了。通過這樣的一個(gè)比較，學(xué)生從中感受到了方程的“好”，這也是教學(xué)最終要達(dá)到的目的。

三、嘗試應(yīng)用，初步建立方程思想

師：老師這兒還有兩個(gè)實(shí)際問題，你能解決嗎？（見下圖）

要求：先獨(dú)立完成，再交流；方程或算術(shù)方法都可以。然后規(guī)范用方程解決問題的基本格式：

【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合上面兩個(gè)環(huán)節(jié)，應(yīng)該說學(xué)生對(duì)方程思維的特點(diǎn)有了一定的認(rèn)知，對(duì)方程的“好”也有所體會(huì)。那么用方程解決問題的基本格式也是本課的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，因此當(dāng)學(xué)生對(duì)方程的“好”有所體會(huì)，愿意接受這一形式后，再告知其基本格式，并提出相應(yīng)要求，也能解決學(xué)生“為什么要學(xué)方程”的問題，同時(shí)也是檢測學(xué)生能否初步建立方程思想的手段。

【課后反思】

史寧中教授曾經(jīng)說過，以往的方程教學(xué)設(shè)計(jì)思想的一個(gè)誤區(qū)，在于把思路搞反了：方程的教學(xué)本應(yīng)該“先是進(jìn)行生活中的提煉，然后到數(shù)學(xué)表達(dá)，到形式化的過程，再到最終解決方程問題”，而不是“先給出形式化的方程定義，然后解形式化的方程，最后再進(jìn)行方程的應(yīng)用”。本課的教學(xué)努力凸顯的正是這一種思維模式。

1.植入并強(qiáng)化。 如果把方程視作解決問題的一種策略，那么學(xué)生喜歡算術(shù)方法也無可厚非，因?yàn)榉匠毯退阈g(shù)同樣是解決問題的策略，更何況算術(shù)方法是習(xí)得已久的策略，駕輕就熟。因此如果把方程視作解決問題的一種策略，學(xué)生勢必會(huì)習(xí)慣于算術(shù)方法而不采用方程。從某種程度上說，方程僅僅是用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示兩件等價(jià)的事情，方程的“=”表示相等的關(guān)系，而算術(shù)中的“=”是求得某個(gè)結(jié)果。因此教學(xué)中不是直接指向問題的解決（學(xué)習(xí)用方程來解決問題），而是關(guān)鍵讓學(xué)生體會(huì)到：用數(shù)學(xué)符號(hào)把要說的事情（即兩件事情等價(jià)）表達(dá)出來，即形成方程。而這個(gè)方程恰好可以解決某個(gè)問題，在頭腦中植入方程思維方式，繼續(xù)再通過幾個(gè)習(xí)題進(jìn)行強(qiáng)化鞏固。

2.比較并內(nèi)化。方程的“解”“設(shè)”以及利用等式性質(zhì)解方程的煩瑣常常令學(xué)生對(duì)方程敬而遠(yuǎn)之，然而作為方程，它具有化逆為順、易想易列的特點(diǎn)，因此有必要讓學(xué)生感受這一優(yōu)勢，掃除學(xué)生心理障礙。簡單的題目學(xué)生并不能感受到這一優(yōu)勢，因此教學(xué)中選擇了“女生有60人，女生人數(shù)比男生的2倍多10人，男生有多少人？”這一素材能充分體現(xiàn)方程思維優(yōu)于算術(shù)方法；同時(shí)通過獨(dú)立做課本“做一做“的第1題和第2題，嘗試檢測學(xué)生能否將方程思想有所內(nèi)化。

當(dāng)然，本課僅僅是通過兩三個(gè)典型的問題，再現(xiàn)方程建模的過程，努力讓學(xué)生了解用方程解決問題的過程。方程思想的建立是一個(gè)長期的、不斷深化的過程，并非一節(jié)課的教學(xué)就能形成，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地滲透在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中。

（浙江省桐鄉(xiāng)市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)振東小學(xué) 314500）