數學化視角下的數量關系表征

張敏

【案例】

近日，看到朋友兒子小朱的一份批改過的數學試卷，上面有這樣一道題目引起了筆者的注意，見下圖：

這是一道找規律的題目，要求學生能從簡單情況入手，進行觀察、比較、思考，進而能發現小棒的根數與八邊形的個數之間的數量關系，并能將這種關系以比較抽象的數學方式加以表征。題中括號里填寫的“8n-（n-1）”是小朱考試時寫出的答案，很顯然老師給他判了個“×”，后面是小朱訂正寫出的答案“7n+1”，訂正時在每一個圖形的下面還標出了“8、15、22”幾個數據。

于是就有了下面一段對話：

筆者：你這道題怎么錯了？

小朱：我的答案可能是不簡便吧。

筆者：為什么？

小朱：如果把8n-（n-1）的括號去掉后，后面的減號變成加號，再把8n減去n，就是（7n+1）了，這個答案比較簡潔。

筆者：那你的8n-（n-1）這個答案是怎么想出來的？

小朱：我想，從第二個圖形開始就是八邊形重合在一起了，2個八邊形就有1條邊重合，3個八邊形就有2條邊重合，以此類推n個八邊形就有（n-1）條邊重合，n個八邊形原來有8n條邊，現在減去重合的（n-1）條邊，那么就需要8n-（n-1）根小棒了。

筆者：你的想法很好啊，你這個答案正好體現了你的思考過程。那老師所說的（7n+1）是從你的答案化簡來的嗎？

小朱：不是，老師是這樣講的：1個八邊形是8根，2個八邊形是15根，3個八邊形是22根，小棒的根數是八邊形個數的7倍多1，所以n個八邊形就是（7n+1）根。

筆者：你覺得，老師的答案比你的答案好嗎？

小朱：好。

筆者：老師講的思考方法和你的相比，誰的好？

小朱：我的方法應該也挺好。要是我把答案化簡一下就好了。

筆者：你覺得老師這樣批改有道理嗎？

小朱：應該有吧。

……

這一段對話觸動筆者思考。從上述對話中可以看出，小朱對這道題的思考是完全正確的，他很準確地發現了圖形的變化規律以及變化過程中小棒的排列特點，并且依據這種特點，很自然、很準確地表征了小棒的根數與八邊形的個數之間的關系，顯得水到渠成。然而老師卻輕易地將孩子的答案判為錯誤，毫無疑問老師的這種評判是不對的，這種誤判折射出了教師在認識上的偏差。

【思考】

一、孰高孰低？——原生態表征與精致化表征

小朱所寫出的答案8n-（n-1）可看成是一種對于小棒根數與八邊形個數關系的原生態表征，它是在學生觀察比較的基礎上，獨立探索、自主發現并表征出來的數量關系，反映出學生思維的原始性，它真實、自然地反映了學生的思維過程和對題中數量關系的理解，更多地體現了對思維過程的直接揭示；而從教師的角度理解，教師給出的答案（7n+1）可以看作是一種在學生原生態表征基礎上的進一步精致化，更多地體現了對思維結果的形式化表達。而這兩種表征方式在數學學習中都經常地、大量地存在著，它們之間是否存在著孰高孰低的問題呢？

從表征的結果上看，它們都正確地揭示和反映了數量之間的本質聯系；從表征的過程上看，兩種答案呈現出不盡相同的形成路徑：小朱的原生態表征是通過觀察發現從第二個圖形開始就有八邊形的邊重合在一起了，2個八邊形就有1條邊重合，3個八邊形就有2條邊重合，以此類推n個八邊形就有（n-1）條邊重合，n個八邊形原來有8n條邊，現在減去重合的（n-1）條邊，那么就需要8n-（n-1）根小棒了；教師的精致化表征是將每個圖形中的小棒個數寫出來，然后發現1個八邊形是8根，2個八邊形是15根，3個八邊形是22根，從小棒根數與八邊形個數的數據內部關系中得出：小棒的根數是八邊形個數的7倍多1，所以n個八邊形就是（7n+1）根。它們都具有其特定的思維視角，各自從不同的角度揭示和反映了兩個數量之間的本質聯系，應該說都具有獨特的內在思維價值，而我們知道內在價值是“無價之寶”，無價之寶是無法進行比較的。從實際操作來看，精致化表征可以從數學情境中生成，即直接建構，如教師向學生介紹的這種思路；也可以以已有的原生態表征為依托，通過引入數學元素進行化簡，形成更凝練的精致化表征，即間接建構，如小朱所理解的由8n-（n-1）到（7n+1）的化簡過程。這種間接建構既反映了二者之間的聯系，同時也是對原生態表征的內在價值的充分肯定。

綜上所述，像本例中教師這樣“厚此薄彼”所作出的評判，視原生態表征為未完成品，而視精致化表征為成品，并將精致化表征視為唯一恰當的表征樣式的認識，無疑是錯誤的。

二、何去何從？——橫向數學化與縱向數學化

那么，在教學實踐中，如何恰當地處理這兩種表征方式之間的關系才能更加有利于學生認知結構的完善，更加有利于學生思維的發展和數學能力的提升？筆者以為，將數量關系的原生態表征與精致化表征并重，并促進兩者之間的互補與整合，無疑是數學教學明智的選擇。為何要并重，如何互補與整合？弗賴登塔爾的數學化思想應該能給我們一定的啟示。

弗賴登塔爾認為：當我們把數學當成一種活動，它的一個主要特征是數學化。數學化可分為橫向數學化與縱向數學化，橫向數學化注重從生活到數學，從現實情境到數學體系，而縱向數學化注重的是數學體系內部的變換、重組。本例中，無論是原生態表征8n-（n-1），還是精致化表征（7n+1），都可以直接從橫向數學化的維度得到，即都可以通過對圖的觀察、分析而抽象出關系；與此同時，精致化表征（7n+1）還可以通過將原生態表征8n-（n-1） 以化簡的方式進行數學內部的重組即縱向數學化的維度得到。

對橫向數學化和縱向數學化進行分類，數學教育可以分成四種類型：①缺少橫向數學化，也缺乏縱向數學化，是機械主義的教學；②橫向數學化得到成長，但縱向數學化不足，是經驗主義的教學；③橫向數學化不足，但縱向數學化被培養起來，是結構主義的教學；④橫向數學化與縱向數學化都得到成長，是現實主義的教學。當下我國基礎教育數學課程改革倡導現實主義的教學，橫向數學化與縱向數學化要結伴而行，均衡發展。

這樣，就從數學化的角度為我們提供了理論依據：數量關系表征應該從單一的精致化表征轉向以原生態表征與精致化表征兩者并重，這就要求教師在教學實踐中必須重視學生的原生態表征，但又不能讓學生的認知發展僅僅停滯在“自發”的水平上，也要及時引導學生由原生態表征向精致化表征提升，并實現兩者的互補與整合。所以，當學生得到原生態表征之后，教師可以通過引導學生轉換思維方式從橫向數學化的維度直接構建精致的數量關系，也可以引導學生運用已學過的數學定律、性質對原生態表征進行形式化處理，從縱向數學化的維度邏輯推理出精致化的數量關系。但就這種間接構建的方式而言，教師必須注意的是：盡管學生經歷了由原生態向精致化的邏輯推理，但并不意味著學生隨之自然地建立起與精致化相對應的數學思想方法，潛存著知識與方法“分離”的危險。因此，對于形式化推演出來的精致化表征，教師仍然應及時引導學生將其與數學概念、直觀圖形聯系起來綜合考查，使學生發現、領悟和建立起與精致化表征相對應的數學思想方法，實現思維方式的轉換，建構起精致化數量關系表征的完整意義。

就本例而言，教師在評講試題時，一方面要充分肯定學生給出的這個答案，并鼓勵學生將這種答案及其思考過程向全體同學展示；另一方面，也要引導學生將這個答案進一步化簡為（7n+1），使之在形式上更加簡潔以體現數學的特征。更重要的是引導全體學生從題中的圖形出發，從不同的思維視角建構起（7n+1）的實際意義。

方法一：根據題中的圖，形成下列表格。

觀察表格中上下兩行數據之間的關系：8=7+1，15=7×2+1，22=7×3+1，……從而得到：n個八邊形，小棒的根數是（7n+1）根。

方法二：將題中的圖分解如下，并逐一動態呈現。

引導學生發現：1個八邊形，小棒根數是（1+7）根，2個八邊形，小棒根數是（1+7×2）根，3個八邊形，小棒根數是（1+7×3）根，……從而得到：n個八邊形，小棒的根數是（1+7n）根。

從更高的層次來看，堅持數量關系原生態表征與精致化表征并重、橫向數學化與縱向數學化結合，不僅僅是為了學生認知結構的完善，更重要的是為了學生智慧的生成與發展。學生可以從多種角度去思考問題，其思維視角是多向的而不是單向的，其思維方式是多樣的而不是單一的。如此的數學教學才能真正“使人具有活躍的智慧”，數學學習才能真正成為“智慧之學”。

（江蘇省寶應縣實驗小學 225800）