分類討論思想精讀

楊文金

2008年～2014年本刊精心打造的“三輪法中考復習新方案”受到了廣大讀者的一致好評，老師稱它是中考復習專題講座難得的好講義，學生把它視為教材和課堂之外的濃縮精華資料.本刊在總結過去經驗的基礎上，又約請中考命題專家、名校名師編寫了2015年“三輪法中考復習新方案”，其中第1期、第4期和第6期為數學專輯，分以下三個部分.

1.第一輪復習部分.按知識塊復習基礎概念、基本方法、基本技能，解決重點、考點、難點、疑點及大知識塊內知識技能的綜合應用問題.

2.第二輪復習部分，此部分以專題復習為主，對中考試卷中必然出現或可能出現的題目包括綜合性題目進行歸類，分專題深入復習，對中考命題趨勢進行預測.這一輪復習是縱向深化知識的綜合應用，重點解決中考試卷中的綜合問題和特殊問題.

3.第三輪復習部分.本部分由仿真模擬試題和中考命題大預測以及中考應對策略組成.將典型題、新型題呈現給讀者，力求對2015年中考題型有一個全景式的呈現，并提供最佳的中考解題策略和應試技巧.相信大家讀后一定會有所收獲！

本期為“分類討論思想精讀”、“運用整體思想巧解中考題”等內容，配合第三輪復習，為幫助同學們高效復習，所刊登內容給同學們指明了復習的重點知識、重要方法、重要解題規律，并展示了典型例題，徹底解決同學們復習過程中的疑難問題.為了更有效地應對2015年中考，本期特刊登2015年中考 大預測試題.

對于運用分類思想解題的過程（思維、動因和方法），我們把它歸納為以下四個方面.

1.要知道為什么要進行分類.一般地說，當我們研究的問題是下列五種情形時可以考慮使用分類的思想方法來解決問題：（1）涉及分類定義的概念，有些概念是分類定義的，如有理數、實數、絕對值、等腰三角形的概念等，當我們應用這些概念時就必須考慮使用分類討論的方法；（2）直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則，如有理數的大小比較法則、一元二次方程根的判別式、直線與圓的位置關系、函數的性質等，當我們應用這些受到適用范圍條件限制的定理、性質、公式、法則來解決問題時，一般要考慮使用分類討論的方法；（3）問題中含有的參變量的不同取值（如分段函數）會導致不同結果而需要對其進行分類討論；（4）幾何問題中幾何圖形不確定而需要對其進行分類討論；（5）由數學運算引起的分類討論.

2.如何進行分類.首先，明確分類討論思想的三個原則：（l）不遺漏原則；（2）不重復原則；（3）同標準原則，其次，查找引起分類討論的主要原因，即屬于上述五種主要原因中的哪一種.最后，掌握分類討論思想的常用方法.分類方法一般為分區間討論法，即把參數的變化范圍（或幾何圖形中動點的變化范圍）劃分成若干個以參數特征（或幾何圖形中的端點）為分界點的小區間分別進行討論，根據題設條件或數學概念、定理、公式的限制條件確定參數或幾何圖形中動點的情況.

3.正確進行逐類逐級分類討論.

4.歸納小結，最后要總結出結論.

結合2014年全國各地中考的實例，我們從下面幾個方面探討分類方法的應用.

一、代數中涉及分類定義和直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則的應用

例1 （2014.自貢）一次函數y=kx+b，當1≤x≤4時，3≤y≤6，則 的值是____.

分析：由于k的符號不能確定，故應分k>0和k<0兩種情況進行解答.

解：當k>0時，函數值隨自變量的增大而增大.

當l≤x≤4時，3≤y≤6，

當x=l時，y=3；當x=4時，y=6.

解得 故 .

當k<0時，函數值隨自變量的增大而減小，

當1≤x≤4時，3≤y≤6，

當x=l時，y=6；當x=4時，y=3.

解得

故答案為：2或-7.

點評：本題考查的是一次函數的性質，在解答此題時要注意分類討論，不要漏解.

例2 （2014.東營）若函數 的圖象與x軸只有一個交點，那么m的值為（）.

A.0

B.O或2

C.2或-2

D.0，2或-2

分析：分為兩種情況：①函數是二次函數；②函數是一次函數.

解：分為兩種情況：①當函數是二次函數時.

函數 的圖象與x軸只有一個交點，

且m≠o.

解得：m=±2.

②當函數是一次函數時，m=0，此時函數解析式是y=2x+l.和x軸只有一個交點.

故選D.

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，根的判別式的應用，用了分類討論思想，題目比較好，但是也比較容易出錯.

二、幾何中涉及分類定義和直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則的應用

例3（2014.安順）已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b，且a、b滿足 ，則此等腰三角形的周長為（）.

A.7或8

B.6或10

C.6或7

D.7或10

分析：先根據非負數的性質求出a，6的值，再分兩種情況確定第三邊的長，從而得出三角形的周長，

解：

解得

當a為底邊長時，三角形的三邊長為2，3，3，則周長為8.

當6為底邊長時，三角形的三邊長為2，2，3，則周長為7.

綜上所述此等腰三角形的周長為7或8.故選A.

點評：本題考查了非負數的性質、等腰三角形的性質以及解二元一次方程組，解題時注意分類討論.

三、含有的參變量的不同取值的分類應用

例4 （2014.舟山）當-2≤x≤l時，二次函數y= 有最大值4，則實數m的值為（）.

A.

B.

C.

D.

分析：根據對稱軸的位置，分三種情況討論求解即可，

解：二次函數圖象的對稱軸為直線x=m，.

①當m<-2時，則x=-2時二次函數有最大值，此時 ，解得 與， 矛盾，故m值不存在.

②當-2≤m≤l時，則X=m，時，二次函數有最大值.

此時，m2+1=4，解得 或 （舍去）.

③當m>l時，則x=l時，二次函數有最大值，此時， ，解得m=2.

綜上所述，m的值為2或 .故選C.

點評：本題考查了二次函數的最值問題，難點在于分情況討論，

四、幾何問題中幾何圖形的不確定的分類應用

例5 （2014.涼山州）已知 的直徑CD=10cm，AB是 的弦，AB上CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長為（）.

A. cm

B cm

C. cm或 cm

D. cm或 cm

分析：先根據題意畫出圖形，由于點C的位置不能確定，故應分兩種情況進行討論，

解：連接AC，AO， 的直徑CD=10cm，AB CD，AB=8cm.

當C點位置如圖1所示時，

當C點位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm.

在Rt△AMC中，

故選C.

點評：本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

例6 （2014.黃岡）如圖3.在一張長為8 cm，寬為6 cm的矩形紙片上，現要剪下一個腰長為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上）.則剪下的等腰三角形的面積為____Cm2.

分析：因為等腰三角形腰的位置不明確，所以分3種情況討論：（1）腰在矩形相鄰的兩邊上；（2）一腰在矩形的寬上；（3）一腰在矩形的長上，

解：分三種情況計算.

（1）如圖4，當AE=AF=5cm時，

（2）當AE=EF=5cm時，如圖5.

（3）當AE=EF=5cm時，如圖6.

綜上可知，剪下的等腰三角形的面積為 或

點評：本題主要考查矩形的角是直角的性質和勾殷定理，要根據等腰三角形的腰的位置不確定分情況討論.