中考實(shí)際問(wèn)題錯(cuò)解分類(lèi)辨析

曹松峰

運(yùn)用方程、不等式、函數(shù)等主干知識(shí)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，因而成為考查學(xué)生分析、解決問(wèn)題能力的重要載體.令人遺憾的是，由于部分學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能未能很好掌握，思維缺乏全面性和深刻性，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的自覺(jué)性不足等，在做題時(shí)往往出錯(cuò)，會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生.因此，剖析中考試卷中實(shí)際問(wèn)題的錯(cuò)解成因，探求糾正的有效措施，就顯得尤為必要，

一、不能正確提取數(shù)量關(guān)系

真正弄懂題意是正確解題的關(guān)鍵，迅速、精準(zhǔn)地將文字語(yǔ)言用數(shù)學(xué)符號(hào)表征出來(lái)，實(shí)際問(wèn)題就解決了一半.但不少學(xué)生沒(méi)有養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，不能認(rèn)真審題，抓不住關(guān)鍵詞語(yǔ)，不能正確提取數(shù)量關(guān)系.在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，經(jīng)常張冠李戴，把數(shù)字、字母或運(yùn)算符號(hào)看錯(cuò)或漏掉，導(dǎo)致思維受阻或解題失誤.

例1 （2014.吉林）小軍家距學(xué)校5千米，原來(lái)他騎自行車(chē)上學(xué)，學(xué)校為保障學(xué)生安全，新購(gòu)進(jìn)校車(chē)接送學(xué)生，若校車(chē)速度是他騎自行車(chē)速度的2倍，現(xiàn)在小軍乘校車(chē)上學(xué)可以晚10分鐘從家出發(fā)，結(jié)果與原來(lái)到校的時(shí)間相同.設(shè)小軍騎車(chē)的速度為x千米/時(shí)，則所列方程正確的為（）.

錯(cuò)解：C或D.

錯(cuò)因辨析：數(shù)量關(guān)系式?jīng)]列對(duì)，單位不統(tǒng)一.速度的單位為千米/時(shí)，應(yīng)將10分鐘換算為1小時(shí).

正解：B.

例2 （2013.安順）某市為進(jìn)一步緩解交通擁堵現(xiàn)象，決定修建一條從市中心到飛機(jī)場(chǎng)的輕軌鐵路，實(shí)際施工時(shí)，每月的工效比原計(jì)劃提高了20%，結(jié)果提前5個(gè)月完成這一工程.原計(jì)劃完成這一工程的時(shí)間是多少個(gè)月？

錯(cuò)解1：設(shè)原計(jì)劃完成這一工程的時(shí)間為x個(gè)月，則（1+20%）x=x-5，解得x=-25.

錯(cuò)解2：設(shè)原計(jì)劃完成這一工程的時(shí)間為x個(gè)月，則（1+20%）·1/x=1/x-5

錯(cuò)解：解這個(gè)方程，得x=30.答：略.

錯(cuò)因辨析：錯(cuò)解1沒(méi)有根據(jù)“工作總量=工作效率×工作時(shí)間”的數(shù)量關(guān)系建立方程，錯(cuò)解2忽略了求解分式方程中的驗(yàn)根步驟.

正解：設(shè)原計(jì)劃完成這一工程的時(shí)間為x個(gè)月，則（1+20%）·1/x=1/x-5，解這個(gè)方程，得x=30.經(jīng)檢驗(yàn)，所列方程的根為x=30.答：略，

二、忽視實(shí)際問(wèn)題的條件

在一些實(shí)際問(wèn)題中，所關(guān)涉的數(shù)學(xué)符號(hào)大都被賦予一定的實(shí)際意義，具有特定的取值范圍.在解題過(guò)程中，不但應(yīng)使其所構(gòu)成的式子有意義，而且還需符合題目的條件和要求.不注意這一點(diǎn)，就很容易出現(xiàn)漏解、多解或錯(cuò)解.

例3 （2013.珠海）某漁船出海捕魚(yú)，2010年平均每次捕魚(yú)量為10噸，2012年平均每次捕魚(yú)量為8.1噸，求2010年～2012年每次捕魚(yú)量的年平均下降率.

錯(cuò)解：設(shè)2010年—2012年捕魚(yú)量的年平均下降率為x，依題意列方程，得10（l-x）2=8.1，解得x1=O.l=lO%，x2=1.9=190%.

錯(cuò)因辨析：捕魚(yú)量的下降率最大降到100%，不可能超過(guò)100%，X2=1.9應(yīng)舍去.

正解：同上，設(shè)元、列式，求得x值為x=10%，X2=190%，然后舍去X2=190%.

例4 （2014.新疆）如圖1，要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建羊圈，用100米的圍欄同成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)AB，BC各為多少米.

錯(cuò)解：設(shè)AB的長(zhǎng)度為x，則BC的長(zhǎng)度為（100 -4x）米.依題意得x（100-4x）=400，解得x1=20，x2=5.則l00-4x=20或l00-4x=80.答：羊圈的邊長(zhǎng)AB，BC分別是20米、20米或5米、80米.

錯(cuò)因辨析：忽略“墻長(zhǎng)為25米”的條件，沒(méi)有對(duì)求出的兩個(gè)x值是否都符合題意進(jìn)行檢驗(yàn)，

正解：設(shè)元，列式，求解，分別得到x，l00-4x的兩組值，同上，因80>25，故x2=5舍去.即AB=20，BC=20.答：羊圈的邊長(zhǎng)AB，BC均為20米.

例5 （2014-長(zhǎng)沙）某服裝公司試銷(xiāo)一種成本為每件50元的T恤衫，規(guī)定試銷(xiāo)時(shí)的銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本價(jià)，又不高于每件70元，試銷(xiāo)中銷(xiāo)量y（件）與銷(xiāo)售價(jià)x（元）的關(guān)系近似地看作一次函數(shù)如圖2所示.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）設(shè)公司獲得的總利潤(rùn)（總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售額一總成本）為p元，求p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意判斷，當(dāng)x取何值時(shí)，p的值最大？最大值是多少？

錯(cuò)解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，因函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（60，400）， （70，300），故400=60k+b，解得

300=70k+b.k=-10.故函數(shù)關(guān)系式為y：一lOx+1 000。b=1000.

（2）由題意，得p=（x一50）（一10x+1000），即p=-10x2+1500x-50000，因-10<0，故當(dāng)x=-1500/2×（-10）=75時(shí)，p有最大值，p最大=-10×752+1500×75=50000=6250（元）.

錯(cuò)解辨析：在（2）的求解中，受思維定式影響，認(rèn)為二次函數(shù)的最值一定在拋物線頂點(diǎn)處取得，沒(méi)有考慮自變量x的取值范圍，題目限定50≤x≤70，而x=75并不在這個(gè)范圍內(nèi)，

正解：（1）同上.（2）由題意，得p=（x-50）（-10+1000），即p=-l02+150x-50000.因-lO<0，又50≤x≤70，在對(duì)稱(chēng)軸x=75的左側(cè)，p隨x的增大而增大，故當(dāng)x=70時(shí)，p有最大值，為6000.

三、缺失分類(lèi)討論

當(dāng)問(wèn)題具有開(kāi)放性、不確定性時(shí)，需要按照一定的原則或標(biāo)準(zhǔn)，“既不重復(fù)又不遺漏”地把問(wèn)題分為若干類(lèi)，然后逐類(lèi)討論，梳理匯總，進(jìn)而得出問(wèn)題的答案，這就是分類(lèi)討論，方案設(shè)計(jì)類(lèi)問(wèn)題的求解，時(shí)常要運(yùn)用這種思想方法，忽視分類(lèi)、不知道如何分類(lèi)、分類(lèi)不科學(xué)是常見(jiàn)的錯(cuò)誤.

例6某商店銷(xiāo)售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷(xiāo)售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元.

（1）求每臺(tái)A型電腦和B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn).

（2）該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍，設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷(xiāo)售總利潤(rùn)為’一元，

①求y與x的關(guān)系式；

②該商店購(gòu)進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái)，才能使銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？

（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)m（0

錯(cuò)解1：（1）設(shè)每臺(tái)A型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)為b元，則有10a+20b=4000，

20a+lOb=3500.解得a=100，即每臺(tái)A型、B型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)分別為

b=150.100元、150元.

（2）①依題意，得y=100x+150（100-x），即y=-50+15000；②由100-x≤2x，解得，因y=-50x+15000，-50<0，故y隨x的增大而減小，因x為正整數(shù)，故當(dāng)x=34時(shí)，y取最大值，此時(shí)100-x=66.即商店購(gòu)進(jìn)A型電腦34臺(tái)，B型電腦66臺(tái)，才能使銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大.

（3）根據(jù)題意得y=（100+m）x+150（100-x），即

錯(cuò)解2：（1）（2）同上.

（3）依題意，得y=（100+m）x+150（100-x），即當(dāng)oO，y隨x的增大而增大.故x=70時(shí)，y取得最大值.即商店購(gòu)進(jìn)70臺(tái)A型電腦和30臺(tái)日型電腦才能獲得最大利潤(rùn).

錯(cuò)因辨析：錯(cuò)解1對(duì)含有字母系數(shù)m的一次函數(shù)最值的討論無(wú)從下手，無(wú)果而終；錯(cuò)解2在分類(lèi)討淪時(shí)，漏掉了m=50的情況，答案不完整，

正解：（1）（2）同上.

（3）依題意，得y=（100+m）x+150（100-x），即y=（m-y隨x的增大而減小.故當(dāng)x=34時(shí)，y取得最大值，即商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦才能獲得最大利潤(rùn)，②當(dāng)m=50時(shí)，m-50=0，y=15000.即商店購(gòu)進(jìn)A型電腦數(shù)量滿足的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤(rùn).③當(dāng)500，y隨x的增大而增大.故x=70時(shí)，），取得最大值.即商店購(gòu)進(jìn)70臺(tái)A型電腦和30臺(tái)B型電腦才能獲得最大利潤(rùn).

四、不能正確讀圖、識(shí)圖

從單一的文字?jǐn)⑹鱿蛭淖帧D形（表）的交匯呈現(xiàn)方式發(fā)展，是近年來(lái)中考命題的一大特點(diǎn).不能正確地從圖形（表）中抓取有用信息，已成為解答實(shí)際問(wèn)題失分的重要原因之一.

例7（2013.黃岡）釣魚(yú)島自古就是中國(guó)領(lǐng)土，中國(guó)政府已對(duì)釣魚(yú)島開(kāi)展常態(tài)化巡邏，某天，為按計(jì)劃準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)指定海域，某巡邏艇凌晨1：00出發(fā)，勻速行駛一段時(shí)間后，因中途出現(xiàn)故障耽擱了一段時(shí)間，故障排除后，該艇加快速度仍勻速前進(jìn)，結(jié)果恰好準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá).如圖3是該艇行駛的路程y（海里）與所用時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)圖象，則該巡邏艇原計(jì)劃準(zhǔn)點(diǎn)

到達(dá)的時(shí)刻是___.

錯(cuò)解：由圖象關(guān)系可知，從出發(fā)到指定海域所用時(shí)間為3小時(shí)，故計(jì)劃準(zhǔn)點(diǎn)達(dá)到的時(shí)刻為4：00.

錯(cuò)因辨析：未能看懂圖形，從出發(fā)到指定海域所用的時(shí)間并不是3小時(shí)，也就是說(shuō)，橫坐標(biāo)3不是整個(gè)航行時(shí)間的終結(jié)，而是一個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn).

正解：易知原來(lái)速度為80海里/時(shí)，故障排除后的速度為100海里/時(shí)，設(shè)原計(jì)劃全程所用時(shí)間為t小時(shí)，則有80t=80+100（t-2），解得t=6，故原計(jì)劃準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的時(shí)刻是7：00.

五、缺乏數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

大多數(shù)學(xué)生對(duì)商品打折銷(xiāo)售、銀行存款利息、購(gòu)房分期付款、出租車(chē)計(jì)價(jià)等“生活中的數(shù)學(xué)”，很少有機(jī)會(huì)經(jīng)歷和體驗(yàn)，思維滯留于教科書(shū)和練習(xí)題的固定題型上，一旦遇到“原生態(tài)”的實(shí)際問(wèn)題，迷茫、出錯(cuò)就在所難免了.

例8（2014年巴中中考題，有改動(dòng)）某商店準(zhǔn)備進(jìn)一批季節(jié)性小家電，單價(jià)40元.經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷(xiāo)售定價(jià)為52元時(shí)，可售出180個(gè)，定價(jià)每增加1元，銷(xiāo)售量將減少10個(gè)；定價(jià)每減少1元，銷(xiāo)售量將增加10個(gè).商店若準(zhǔn)備獲利2 000元，則應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？定價(jià)為多少元？

錯(cuò)解：設(shè)定價(jià)為（52+x）元，則每銷(xiāo)售一個(gè)獲利（52+x-40）元，共銷(xiāo)售（180-10x）個(gè)，依題意，得（52+x-40）.（180-lOx）=2 000，整理，得x2-6x-16=0，解得x1=8，X2=-2（不合題意，舍去），故當(dāng)x=8時(shí)，52+x=52+8=60（元），180-lOx=180-lOx8=100（個(gè)）.

錯(cuò)因辨析：認(rèn)為提價(jià)不能為負(fù)，將x2=-2舍去，說(shuō)明對(duì)銷(xiāo)售中諸如進(jìn)價(jià)、定價(jià)、銷(xiāo)售數(shù)量、利潤(rùn)等數(shù)量關(guān)系，缺乏全面的認(rèn)識(shí).

正解：上述錯(cuò)解再補(bǔ)充：當(dāng)x=-2時(shí)，52+x=50（元），180-lOx=200（個(gè)）.

例9（2013.襄陽(yáng)）某社區(qū)活動(dòng)中心為鼓勵(lì)居民加強(qiáng)體育鍛煉，準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個(gè)羽毛球，供社區(qū)居民免費(fèi)借用，該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標(biāo)價(jià)均為30元，每個(gè)羽毛球的標(biāo)價(jià)為3元，目前兩家超市同時(shí)在做促銷(xiāo)活動(dòng)：

A超市：所有商品均打九折（按標(biāo)價(jià)的90%）銷(xiāo)售；

B超市：買(mǎi)一副羽毛球拍送2個(gè)羽毛球.

設(shè)在A超市購(gòu)買(mǎi)羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yA（元），在B超市購(gòu)買(mǎi)羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yB（元）.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）分別寫(xiě)出yA，yB與x之間的關(guān)系式.

（2）若該活動(dòng)中心只在一家超市購(gòu)買(mǎi)，你認(rèn)為在哪家超市購(gòu)買(mǎi)更劃算？

（3）若每副球拍配15個(gè)羽毛球，請(qǐng)你幫助該活動(dòng)中心設(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案，

錯(cuò)解：（1）由題意，得yA=（lOx30+3xl0x）x0.9=27x+270，yB=lOx30+3（lOx -20）=30x+240.（2）當(dāng)y4 =yB時(shí)，27x+270=30x+240.得x=10；當(dāng)yA>yB時(shí)，27x+270>30x+240，得x<10；當(dāng)yA10.故當(dāng)2≤x<10時(shí)，到B超市購(gòu)買(mǎi)劃算；當(dāng)x=10時(shí)，兩家超市一樣劃算；當(dāng)x>10時(shí)在A超市購(gòu)買(mǎi)劃算.（3）由（2）知，當(dāng)x>10時(shí)，到A超市購(gòu)買(mǎi)劃算，15>10，故到A超市購(gòu)買(mǎi)劃算.

錯(cuò)因辨析：大多數(shù)學(xué)生除了用第（2）問(wèn)的結(jié)果判斷之外，找不出最佳的購(gòu)買(mǎi)方案.其原因在于受第（2）問(wèn)“只在一家購(gòu)買(mǎi)”這一前提條件的束縛，在平時(shí)訓(xùn)練中，類(lèi)似題目大多是在上一問(wèn)的基礎(chǔ)上直接回答，而錯(cuò)誤解答本題第（3）問(wèn)缺少直接生活經(jīng)驗(yàn)是癥結(jié)所在.

正解：（1）（2）同上.（3）由題意知x=15>10，故選擇A超市，yA=27x15+270=675（元）.若先選擇在B超市購(gòu)買(mǎi)10副羽毛球拍，送20個(gè)羽毛球，然后在A超市購(gòu)買(mǎi)剩下的羽毛球需要（lOx15-20）x3x0.9=351（元），共需要費(fèi)用lOx30+351=651（元）.因651<675.故最佳方案是先選擇在B超市購(gòu)買(mǎi)10副羽毛球拍，然后在A趣市購(gòu)買(mǎi)130個(gè)羽毛球.