運用整體思想巧解中考題

張德柱

整體思想，就是在研究和解決有關數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法.從整體上去認識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時又能培養思維的靈活性、敏捷性.整體思想的主要表現形式有整體代入、整體加減、整體代換、整體聯想、整體補形、整體構造等.在初中數學中的數與式、方程與不等式、函數與圖象、兒何與圖形等方面，整體思想都有廣泛的應用，因此，每年的中考中出現了許多別具創意、獨特新穎的涉及整體思想的問題，尤其在考查高層次思維能力和創新意識方面具有獨特的作用.下面舉例說明，以饗讀者.

一、整體代入

例1 （2014.淄博）當x=l時，代數式 的值足7，則當x=-l時，這個代數式的值是（）.

A.7

B.3

C.1

D.-7

分析：把x=l代入代數式求出a、b的關系式，再把x=一l代入進行計算即可得解，

，解得

時，

. 故選C。

評注：本題是直接代入求值的一個基本題型，利用整體思想是解題的關鍵.此類題首先要觀察已知條件和需要求解的代數式，然后將已知條件變換成適合所求代數式的形式，運用整體代入法即可得解，

例2 （2014.黔東南）已知拋物線y=x2-x-1與x軸的一個交點為（m，0），則代數式m2_m+2 014的值為（）.

A.2 012

B.2 013

C.2 014

D.2 015

分析：國因為拋物線y=x2-x-l與x軸的一個交點為（m，0），所以把x=m代入方程x2-x-1=0可求得m2一m=l，然后將其整體代入代數式m2-m+2014，故m2一m+2014=1+2014=2015.故選D.

評注：本題考查了拋物線與x軸的交點.解題時需注意“整體代入”數學思想的應用，從整體上去認識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，減少計算量.

二、整體變形

例3 （2014.涼山州）已知

解析：此題考查二次根式的混合運算，把所求代數式利用完全平方公式整體變形是解決問題的關鍵，首先把 變形為（X1+X2）2 - 2x1X2，再進一步代入求得數值即可.

評注：從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子（或圖形）看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的整體變形，從而使代數式的化簡與求值計算過程簡捷，

三、整體加減

例4 （2014.蘭州）為了求 的值____，可令 ，則 ，因此 ，所以 ，即 1.仿照以上推理計算 的值是

，

解析：根據題目所給的計算方法，設

①式兩邊都乘以3，得

②一①得2M=

兩邊都除以2，得 ，故答案為：

評注：本題主要考查學生觀察能力及運用整體思想解題的運算能力，利用錯位相減法，消掉相同值，是解題的關鍵.

例5已知 且 ，則k的取值范圍為（）.

A. B. C. D.

解析：本題如果解方程，分別求出方程組的解顯然比較麻煩，注意到條件“-l

評注：運用整體思想方法解題，要有強烈的整體意識，要認真分析問題的條件或結論的表達形式、內部結構特征，不拘泥于常規，不著眼于問題的各個組成部分，從整體上觀察，從整體上分析.運用整體思想方法，往往能起到化繁為簡化難為易的效果，

四、化零為整

例6 如圖1，∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=____.

解析：由于本題無其他任何條件，因而單個角是無法求出的.利用三角形的性質，我們將∠1+ ∠2視為一個整體，那么應與△ABC中 的外角相等，同理 ∠3+∠4，∠5+∠6 分別與∠ABC+∠ACB 的外角相等，利用三角形外角和定理，可知∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，本題就迎刃而解了，

評注：整體聯想待求式各元素之間的關系并正確應用相關性質是解決此類問題的關鍵.我們在解題過程中，應仔細分析題意，挖掘題目的題設與結論中所隱含的信息，然后通過整體構造，常能出奇制勝，

五、整體構造

例7如圖2，在正方形ABCD中.E為BC邊的中點，AE平分 ，試判斷4F與BC+CF的大小關系，并說明理南，

解析：證明一條線段等于另外兩條線段的和或差，常常用截長法或補短法把問題轉化為證明兩條線段相等的問題，本題中我們可利用三角形全等將BC+CF轉化為一條線段的長，從而達到了解決問題的目的.

因E是BC中點，故BE=CE.

正方形ABCD中，AB=BC， ，過E作 連接

因AE平分

因AE=AE，故△ABE

故AH=AB=BC，EH=EB=EC，

因EF=EF，故 .故HF=CF

故AF=AH+HF=BC+CF

評注：本題也可以延長DC至G，使CG=DC，連接EG.易得AF=FG=FC+CG=FC+BC.顯然，用整體思想解題不僅解題過程簡捷明快，而且富有創造性，有了整體思維的意識，在思考問題時，才能使復雜問題簡單化，提高解題速度，優化解題過程.同時，強化整體思想觀念，靈活選擇恰當的整體思想方法，常常能幫助我們走出困境，走向成功.