捕捉有用信息 補圖速解問題

華騰飛

在解（證）有一定難度的幾何問題時，條件并不明顯，而寓于概念、存于性質或畬于圖中，審題時，就要注意深入挖掘這些隱含條件和信息，常常需要添加輔助線.應如何添加輔助線呢？可以說沒有一成不變的方法，應因題而異，采用靈活多變的添加的方法，一般補成常見的基本圖形，為順利解（證）題目創造條件，下面通過例題說明怎樣捕捉題設和圖形中有用的信息源，通過多種思維產生新的有用信息，進而采用“補形”的方法，達到簡捷解（證）問題的目的，

一，補圖構造直角三角形或正三角形

例1 如圖1所示，在四邊形ABCD中， BC=2，CD=3.求AB的值.

分析：信息源：

產生信息：60°角作為直角三角形的一個銳角時，直角三角形三條邊的比是

補全圖形：①延長AD交BC的延長線于E；②延長AB交DC的延長線于F

簡解：CD=3，

故

故

例2 如圖2所示，已知六邊形ABCDEF的六個角都是120°，若其連續四邊AB、BC、CD、DE的長依次為1、9、9、5，求這個六邊形的周長.

分析：信息源：六邊形的六個角都是120°.

產生信息：120°角的鄰補角是60°，有兩個角為60°的三角形是等邊三角形.

補全圖形：把六邊形ABCDEF的邊BC、DE、AF分別延長得正三角形PMN.

簡解：由圖形易知△PCD、△NAB、△MEF、△PMN為正三角形，△PMN的邊長為19.進而可知ME=5.AF=13.則六邊形ABCDEF的周長=正三角形PMN的周長一1-5-9=42.

點評：以上兩例解法都是捕捉了題中的特征信息“60°”角，從而獲得了補全圖形的兩種方式.因此當題設或結論中有特征信息“15°、30°、60°或120°、150°”角時，可把命題圖形完善成“正三角形”或“含30°銳角的直角三角形”試之.這樣做從表面上看圖形變復雜了.實質上使不規則圖形化成了規則圖形，化繁為簡，為順利簡捷解題創造了條件.

二、補圖構造等腰三角形 例3 如圖3所示，在△ABC中，AD是 的平分線，過B作 ，交AD的延長線于E，M為BC的中點，求證：

分析：信息源：AD是 的平分線， ，M為BC的中點，

產生信息：①角平分線所在直線是角的對稱軸；②等腰三角形“三線合一”定理.三角形中位線定理，

補全圖形：延長AC交BE的延長線于F.化一般△ABC為等腰△ABF.

簡證：過C作CP∥BF交AB于P，而得到的△ACP和△ABF都是等腰三角形，得FC=AB-AC.E為BF的中點，再由M為Bc中點得

點評：本題捕捉了角平分線與垂線重合的信息，采取補得等腰三角形的方法，此類題型在初中平面幾何和中考中很多，希望同學們注意其思想方法.

三、補圖構造特殊的四邊形（如平行四邊形、矩形、菱形、正方形）

例4 如圖4所示，一邊靠學校院墻另三邊用總長為50m的籬笆圍成的長方形場地，說出邊長為多少時，長方形的面積最大，

分析：信息源：長方形.面積最大，三邊總長50m籬笆不變.

產生信息：周長一定的所有矩形中，正方形面積最大，

補全圖形：把矩形補成如圖4所示的正方形.

簡解：不難得知當BC=1/2AB，即AB=25m，BC=AD=12.5 m時，場地的面積最大，

點評：本題的解法之所以如此簡捷巧妙，是因為捕捉到了“面積最大”這個信息，而想到了正方形.

四、補圖構造圓

例5如圖5所示，已知AB=AC=AD，如果 是 的k倍，那么 是 的

倍.

分析：信息源：A B=A C=AD.

產生信息：B、C、D三點到A的距離相等，即B、C、D都在以A為圓心、AB長為半徑的圓A上，

補全圖形：以A為圓心，AB長為半徑作 A.

簡解：圓心角∠DAC是∠CAB的k倍，則CD的度數是BC度數的k倍，推得圓周角∠DBC也是∠BDC的k倍.

點評：本題巧用信息AB=A C=AD，作 A，用圓心角、弧、圓周角的關系使難題迎刃而解，充分體現了補圖解題的妙處.

例6如圖6所示，以邊長為 cm的等邊三角形三邊為弦，分別作弧相交于點 求陰影部分的面積.

分析：麟信息源：等邊△ABC. 產生信息：①AB、BC、CA為等弧；②O’為“四心”重合于一點；③∠AO'C=∠BO'C=∠AO'B=120°，AB、BC、CA所對的圓心角也是120。.

補全圖形：找出AB、BC、CA的圓心O1、O2、O3，連接01A、O1B、02B、02C、03C、o3A.

簡解：由 cm，得O1A =2cm，圖中陰影面積等于半徑為2cm的圓面積與六邊形A01B02C03面積之差，

點評：本題由弧想到弧所在的圓，找出圓心，補全圖形，化零為整，返璞歸真.這是求幾何圖形中陰影面積的重要途徑，對解（證）其他題型也會有啟迪，

五、補圖構造全等三角形（相似三角形） 例7 如圖7，點B在線段AC上，點D，E在AC同側，∠A=∠C=90°，BD BE，AD=BC.

（1）求證：AC=AD+CE；

（2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ DP，交直線BE于點Q.當點尸與A，B兩點不重合時，求 的值.

分析：（1）根據同角的余角相等求出∠1=∠E.再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=CE，然后根據AC=AB+BC整理即可得證.

（2）如圖8，連接DQ，由∠DPQ=∠DBQ=90°得到D、P、B、Q四點在以DQ為直徑的圓上，從而可以得到

解：（1）證明：如圖7，因BD上BE，故∠1+∠2=180°-90°=90°.因∠C=90°，故∠2+∠E=180°-90°=90°，故∠1=∠E.因在△ABD和△CEB中，∠1=∠E，∠A= ∠C=90。，AD=BC，故△ABD≌△CEB （AAS）.故AB=CE.故AC=AB+BC=AD+CE.

（2）如圖8，連接DQ，因∠DPQ=∠DBQ=90°，故D、P、B、Q四點在以DQ為直徑的圓上.故∠DQP=∠DBP.

故Rt△DPQ∽Rt△DAB.故

因DA=3，AB=EC=5，故

點評：本題是單動點問題，主要考查了全等三角形的判定和性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質.本題通過連接DQ，得到相似三角形，問題迎刃而解.