正本清源，通過“數(shù)數(shù)”活動理解運算律

張奠宙 戎松魁

戎：張教授，自從2001年小學數(shù)學新教材使用以來，有一個問題我一直在想：正整數(shù)加法和乘法的意義及其交換律怎樣表述比較好？教學中怎樣處理比較合適？你能抽空指導一下嗎？

張：這個問題我也覺得有話要說。

戎：那就讓我們先來談談加法吧。

張：自然數(shù)的加法，其本源意義在于對兩個具有有限基數(shù)且不相交的集合A和B作并集A∪B之后， A∪B的基數(shù)是A的基數(shù)與B的基數(shù)之和。

戎： 這對一年級小學生而言，沒法說明白。

張：但是說白了，很容易懂。這就是“數(shù)數(shù)”。A 、 B兩堆石子，先數(shù)A堆的a顆，接著數(shù)B堆的b顆，最后的結(jié)果就是（a+b）顆。

戎： 對，這樣說倒是容易理解的。“數(shù)數(shù)”是最基本的數(shù)學活動之一，加法的本質(zhì)就是“接著數(shù)”。我注意到，人教版一年級上冊教材就是用“接著數(shù)”做加法的。

張：當代數(shù)學教育心理學的一個經(jīng)典結(jié)果就是用“數(shù)數(shù)”這樣一種行為性的操作活動來形成自然數(shù)的概念。加法概念不是來自于更多的小石子，而是來自于添加或合并的操作活動。現(xiàn)在強調(diào)四基，其中的基本數(shù)學活動中，一定會包括“數(shù)數(shù)”這樣重要的數(shù)學活動。

戎：是啊， 如果用“數(shù)數(shù)”學習加法交換律，就非常明白易懂。教材上可以畫A 、B兩堆石子，先數(shù)A堆再接著數(shù)B堆的結(jié)果，和先數(shù)B堆接著數(shù)A堆的結(jié)果是一樣的。從本源上看，這就是交換律成立的證明。從小學生的感受而言，這是明白易懂的直觀。可是人教版四年級下冊教材“加法運算定律”教學內(nèi)容中（見圖1）并沒有用“數(shù)數(shù)”的活動加以說明。

張：非常遺憾。現(xiàn)在教材里提到加法交換律，就是讓學生拿兩個數(shù)來驗證一下：5+6=6+5，然后要學生分組舉很多例子，歸納出加法交換律成立。至于為什么可以交換，沒有從本源上說清道理。現(xiàn)在提出“過程與方法的教學目標”，凡是小學生能夠懂的道理，還是要說理。

戎：這種操作方法確實不錯。那么“數(shù)數(shù)”的操作活動能不能用于乘法呢？

張：不僅可以，而且必要。“數(shù)數(shù)”這樣的基本數(shù)學活動，需要多次進行，使之成為理解自然數(shù)運算規(guī)律的一把鑰匙。

戎：2013年，人教社出版的二年級上冊教材先展示了三個不同的生活情境圖片，引出三個加法算式：3+3+3+3+3=15 ，6+6+6+6=24 ，2+2+2+2+2+2+2=14 。然后指出：“這種加數(shù)相同的加法，還可以用乘法表示。”針對最后一個加法算式，指出用乘法算式可以寫為“2 ×7=14”或“7× 2=14”。同時給出了它們的讀法（見圖2）。

張：最近我也看到了，頗為驚訝。

戎：這就是說，不管是“2×7”還是“7×2”都表示7個2相加，兩個不同的乘法算式，表示的是同一個加法算式。推而廣之，當a和b都是大于1的整數(shù)時，a×b和b×a都可表示b個a的和，同時也都可表示a個b的和。用這樣的方法來給出兩個數(shù)相乘的意義好像有問題。

張：這里用了一個“或”字。就把“7個2相加”和“2個7相加”兩個不同運算過程等同起來了。可是，乘法交換律只說交換乘數(shù)次序相乘之后其結(jié)果相同，沒有說這兩個過程相同。它的錯誤，正好像說一頭羊和一頭豬都重50千克，就說這頭“羊”是一頭“豬”，有悖常理。

戎：不知道為什么會改成這樣？

張：我回想了一下，在本世紀初課改剛開始的時候，小學數(shù)學里曾有乘數(shù)和被乘數(shù)的區(qū)別。即a×b和b×a的意義不盡相同。特別是在解應用問題列式時，如果列式需要寫成a×b，那么寫成b×a就算錯。于是，一些數(shù)學家就諷刺“在小學數(shù)學里乘法交換律不成立”。當時這成為數(shù)學課程改革的重要由頭之一。改革是必要的，但是，矯枉過正就會出現(xiàn)失誤。

戎：既然教材中把“2×7” 與“7×2”說成是一回事，那么對于大于1的整數(shù)a和b而言，a×b和b×a也是一回事。a×b=b×a就是自然成立的，連驗證都可以省去。這樣一來，乘法交換律還有意義嗎？還能稱為“數(shù)學定律”嗎？

張：是啊。像現(xiàn)在這樣處理，是一次科學性的失誤。

戎：問題還在于《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》第76頁上的例5：“教室里有6行座位，每行7個，教室里一共有多少個座位？【說明】 這個例子可以引導學生理解教室中的座位數(shù)是6個7的和，可以寫成：6×7 或7×6。”

張：哦，《課程標準》也把6×7 說成就是7×6，沒有想到。我想，如有不妥，《課程標準》也是可以改的。

戎：或許教材的編寫者注意到了這個問題，因此在四年級下冊教材“運算定律”這一單元教學中就不承認“4×25”和“25×4”是一回事了，也就是說4×25不能寫為 25×4，而必須經(jīng)過計算得到4×25 =100，25×4=100，然后得到等式4×25 =25×4，并在要求學生“再寫出幾個這樣的等式”后得出乘法交換律成立。用字母表示為a×b=b×a。這與二年級上冊教材中給出的乘法意義不統(tǒng)一。

張：自相矛盾了。

戎：那該怎么處理為好呢？

張：我想，正本清源，還是回到“數(shù)數(shù)”這個原始的數(shù)學操作活動上來。例如針對二年級上冊教材引入乘法意義的例3，畫出石子圖（見圖3）。

接著的文字為：

這堆石子有多少顆呢？我們可以豎著數(shù)，每列2顆石子，共7列。7個2相加，寫成 2×7，讀作2乘以7。我們也可以橫著數(shù)，每行7顆，共2行，2個7相加，寫成7×2，讀作7乘以 2。不管豎著數(shù)，還是橫著數(shù)，結(jié)果都是14。所以 2×7=7×2。

戎：請說說這樣做的理由。

張：我想，這次乘法意義的教學改革，目標是：

①不要提出乘數(shù)、被乘數(shù)的概念；②知道 2 × 7 = 7 × 2；③懂得其中的道理。

在上面的文字說明里，我們做到了以下三點：第一，我們沒有一般化地提出乘數(shù)和被乘數(shù)的抽象概念，但是用實際的數(shù)說明了7個2相加和2個7相加之間的區(qū)別，并且保留了“2乘以7”的傳統(tǒng)讀法。第二，我們導出了2× 7= 7×2，不會出現(xiàn)所謂小學里乘法不服從交換律的毛病。第三，我們用數(shù)數(shù)的操作活動，以及豎著數(shù)、橫著數(shù)的生活化的語言，說明了等式成立的合理性。這樣做，等于把乘法的交換律提前在引入乘法意義時就有所涉及，不知道在教學實踐中是否可行？

戎：我想，有了“數(shù)數(shù)”這個活動的支持，再利用教材中例1和例2，繼續(xù)操作幾次，類似的，可以得到3×5=5×3，6×4=4×6。最終二年級小學生應該能夠理解兩個數(shù)相乘交換它們的次序乘積不變的結(jié)論。不過二年級僅限于具體的數(shù)相乘。至于一般地出現(xiàn)a×b=b×a那樣的字母式，以及采用交換律這樣的專有名詞，仍舊可到四年級再提出。這樣分為兩個階段，互相連接，沒有矛盾。

張：至于《課程標準》里的那個“例5”，有教室里的座位作生活化背景，只要加一句話：“用橫著一行行數(shù)（7×6）和豎著一列列數(shù)（6×7）兩種方法計算座位的數(shù)目，結(jié)果相同。”并將“可以寫成：6×7 或7×6 ”改寫為“可以寫成7×6 ”就行了。

戎：關(guān)于2×7的讀法，你認為要讀成2乘以7， 是不是有乘數(shù)、被乘數(shù)這樣的意思在里面。

張：不。我們只是說明2乘以7，專指7個2相加；7乘以2，是2個7相加。我們要說明這兩者是不同的過程，但結(jié)果一樣。至于在教學中，尤其在考試中，不要刻意去強調(diào)其間的差別，更不要一般地提出乘數(shù)、被乘數(shù)的概念。至于2×7讀成2乘以7，那是正規(guī)讀法。另外，這種讀法與接下來學習除法a÷b的讀法（a除以b）可以比較自然地銜接起來。當然，對于2×7這種乘法，簡單地讀作2乘7也可以。

戎：我想，我們的談話是否可以歸納為以下幾點：

1.根據(jù)現(xiàn)代學習心理學的研究，對加法、乘法的意義及其運算定律的理解，其本源在于“數(shù)數(shù)”的操作活動。我們現(xiàn)在強調(diào)“四基”教學，“數(shù)數(shù)”操作活動理應放在突出位置，現(xiàn)行教材還可以進一步予以利用。

2.現(xiàn)行教材中的乘法意義解釋，將2×7 和7×2 看作是同一件事，混淆了兩種不同的計算過程，使“乘法交換律”變得沒有意義，缺乏科學性。應予以改正。

3. 乘數(shù)、被乘數(shù)概念的過分強調(diào)，對日后的學習并無益處，反而與乘法交換律相沖突，故不宜恢復，仍應去掉。

4.恢復7個2相加寫成2×7，讀作2乘以7，符合國內(nèi)外的習慣。

5. 在剛開始學習乘法的時候，就將“ 7個2相加”與“2個7相加”區(qū)別開來，但說明二者結(jié)果相同，這可以為后來學習乘法交換律作鋪墊。

6.在二年級上冊學習中，將點子圖用豎著數(shù)、橫著數(shù)的“數(shù)數(shù)”活動來說明 2×7 = 7×2，是否可行，需要教學實踐的檢驗。

張：我覺得你的歸納基本上展示了我們談話的主要內(nèi)容。我們下次有機會再談。

戎：謝謝張教授的指導。

（ 華東師范大學數(shù)學系 200241

杭州師范大學教育學院 311121 ）