一道高考壓軸題引發的對三次函數切線條數的探究

徐英

摘 要： 三次函數是高考的一個考點，題型為選擇、填空、綜合題，作者對三次函數任意一點處的切線條數進行探究，希望在解決這類問題時能有更簡單的方法.本文通過探討得出相關結論.

關鍵詞： 三次函數 任意一點 切線條數

（1）在曲線C上方、對稱中心處切線上方的公共區域內或曲線C下方、對稱中心處切線下方的公共區域，過點Q只能作一條直線與曲線C相切.

（2）在曲線C上方、對稱中心處切線下方的公共區域內或曲線C下方、對稱中心處切線上方的公共區域.過點Q可以作三條直線與曲線C相切.

（3）在對稱中心處切線上（除去對稱中心），過點Q可作兩條直線與曲線C相切.

于是，解（Ⅲ）過點A（-1，2）存在3條直線與曲線y=f（x）相切；過點B（2，10），存在2條直線與曲線y=f（x）相切；過點C（0，2）存在1條直線與曲線y=f（x）相切.

參考文獻：

[1]劉雪.過三次函數曲線上定點的切線問題[期刊論文].中學數學雜志：高中版，2012（3）.