毛建軍
一、數學直覺概念的界定
簡單地說,數學直覺是具有意識的人腦對數學對象(結構及其關系)的某種直接的領悟和洞察。
1.直覺與直觀、直感的區別
直觀與直感都是以真實的事物為對象,通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等,兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明,只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說:“直覺不必建立在感覺明白之上。感覺不久便會變得無能為力。例如,我們仍無法想象千角形,但我們能夠通過直覺一般地思考多角形,多角形把干角形作為一個特例包括進來。”由此可見,直覺是一種深層次的心理活動,沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說:“這些富有創造性的科學家與眾不同的地方,在于他們對研究的對象有一個活生生的構想和深刻的了解,這些構想和了解結合起來,就是所謂‘直覺’……因為它適用的對象,一般說來,在我們的感官世界中是看不見的。”
2.直覺與邏輯的關系
從思維方式上來看,思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來,人們刻意把兩者分離開來,其實這是一種誤解,邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹,而直觀重于分析,從側重角度來看,此話不無道理,但側重并不等于完全,數學邏輯中是否會有直覺成分?