“微元”法在中學物理中的應用

董剛

近幾年無論是在高考中還是在競賽中利用微元法進行解答的題目出現的幾率在增大，有的老師可能說這些問題可以用高等數學中的積分進行求解.但是在各地區的數學教學中積分不是作為必修的知識點，有的地區不進行積分的教學的.所以筆者認為我們在平時的物理教學中還是應該多注重“微元”這種思維方式的教學，“微元”法是指在處理問題時，從對事物的極小部分（微元）分析入手，達到解決事物整體的方法.這是一種深刻的思維方法，是先分割逼近，找到規律，再累計求和，達到了解整體.是對某事件做整體的觀察后，取出該事件的某一微小單元進行分析，通過對微元的細節的物理分析和描述，最終解決整體的方法.

通過對微元法的分析學習對培養中學生的思維能力和綜合分析能力是有益的.下面舉例來說明微元法在中學物理中的應用，希望起“拋磚引玉”之作用.

首先，我們來看一下在人教版必修一中對于勻變速直線運動的位移的處理過程.

通過v-t圖像，研究以初速度v0做勻變速直線運動的物體，在時間t內發生的位移.物體的v-t圖像如圖1所示.先把物體的運動分成幾個小段，例如（1/5）t算一個小段，在v-t圖中，每一小段起始時刻的瞬時速度由相應的縱坐標表示（圖2）.我們以每一小段起始時刻的速度乘以時間的（1/5）t近似地當做個小段中物體的位移，各段位移可以用一個又窄又高的小矩形的面積代表.5個小矩形面積的和，近似的代表在整個過程中的位移.為了更精確一些可以把過程劃分為更多的小段，如圖3，用所有這些小段的位移之和，近似代表物體在整個過程中的位移.從圖中看就是用更多但更窄的小矩形的面積之和代表物體的位移.可以想象，如果把整個過程劃分的非常非常細，很多很多小矩形的面積和就能準確的代表物體的位移了，這是，“很多很多”小矩形頂端的“鋸齒形”就看不見了，這些小矩形合在一起成了一個梯形的面積.及這個梯形的面積代表了物體的位移.

同理如果物體的運動不是勻變速直線運動，而是非勻變速運動也是適用的，即v-t圖像圖線與時間軸圍成的面積同樣表示位移.

用數學表達式的形式表述為

v1Δt+v2Δt+v3Δt+…+vnΔt=x，

vn表示每一小段起始時刻的速度，Δt表示每一小段的時間間隔x表示總位移.

以上教材對物體的位移的分析就是用到了微元的思想，現把與之相關的一些整理如下：

（1）加速度與時間的圖像可以分析得出：無論是勻變速直線運動還是非勻變速直線運動的圖像圖線與時間軸圍成的面積表示速度的變化量.

用數學表達式的形式表述為

a1Δt+a2Δt+a3Δt+…+anΔt=Δv，

an表示每一小段起始時刻的加速度、Δt表示每一小段的時間間隔、Δv表示總速度改變量.

（2）力與位移的圖像可以分析得出：無論是恒力隨位移變化的圖像還是變力隨位移變化的圖像，圖線與位移軸圍成的面積都表示力所做的總功.

用數學表達式的形式表述為

F1Δs+F2Δs+F3Δs+…+FnΔs+W，

Fn表示每一小段起始時刻的力、Δs表示每一小段的位移、W表示總功.

（3）電流與時間的圖像可以分析得出：無論是恒定的電流還是變化的電流，圖像與時間軸所圍成的面積表示電量.

用數學表達式的形式表述為

I1Δt+I2Δt+I3Δt+…+InΔt=Q，

In表示每一小段起始時刻的電流強度、Δt表示每一小段的時間間隔，Q表示總電量.

下面從幾個具體的例子來分析如何應用微元的思想來解決一些具體的問題.

例1 （2014年江蘇高考第4題）如圖5所示，一圓環上均勻分布著正電荷， x 軸垂直于環面且過圓心O. 下列關于x 軸上的電場強度和電勢的說法中正確的是

A.O點的電場強度為零，電勢最低

B.O點的電場強度為零，電勢最高

C.從O點沿x 軸正方向，電場強度減小，電勢升高

D.從O點沿x 軸正方向，電場強度增大，電勢降低

解析 分析時我們可以把帶電圓環分解成無數段每一段可以看成一個帶有相同電荷量的正點電荷那么我們就可以利用點電荷的性質來求解場強，在進行矢量疊加.求解過程如下，取圓環上關于O點對稱的兩個單元，這兩個單元在o點產生的電場強度大小相等方向相反，合場強為零，同理其它圓環上關于O點對稱的兩個單元在o點產生的合場強也為0，即o的電場強度為零.在取圓環上關于O點對稱的兩個單元，這兩個單元在a點產生的電場強度根據矢量疊加如圖6所示，同理其它圓環上關于O點對稱的兩個單元在a點產生的合場強也向右，即o點右側電場線從O點指向右.同理o點左側電場線從o點指向左，根據“沿電場方向電勢降落”，所以O點的電最高，B正確.求解本題的思維方法就是利用了“微元法”，是先分割逼近，找到規律，再累計求和，達到了解整體.

例2 我們來看一下（2008年江蘇物理高考試卷的第14題）在場強為B的水平勻強磁場中，一質量為m、帶正電q的小球在0點靜止釋放，小球的運動曲線如圖7所示.已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍，重力加速度為g.求：（1）小球運動到任意位置P（x，y）的速率v；（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym；（3）當在上述磁場中加一豎直向上場強為E（E>mg/q）的勻強電場時，小球從0點靜止釋放后獲得的最大速率vm.

解析 我們來看一下第三問給出的答案：小球運動如圖8所示，

由動能定理（qE-mg）|ym|=12mv2m，

由圓周運動qvmB+mg-qE=mv2mR，

由以上兩式及R=2|ym|，解得vm=2qB（qE-mg）.

在這個答案中直接的應用了只有在重力作用下的一個條件，曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍.但是在第三問中物體所受到的力已經發生改變，是否能直接應用呢，是否需要進行驗證呢.

下面我們來分析當力改變以后最低點曲率半徑與到x軸距離的關系.對上升過程中任意點受力分析如圖9所示重力G 電場力F 洛倫茲力f .根據動能定理可知在最高點速度最大. 把洛倫茲力f分解水平方向fx豎直方向fy .在下落階段受力分析如圖10所示，可知在最高點沿著y軸方向速度為零，在x軸負方向速度最大.

在對上升階段任意時刻fx=qBvyi，vyi為該時刻y軸方向上的速度如圖11，

在該時刻沿著x軸負方向上的加速度

axi=fxm=qBvyim，

以該時刻為起點取一段極小的時間間隔Δt，在這一段時間內我們認為axi沒有發生變化.

則在這一小段時間間隔沿著x軸負方向速度的改變量Δvxi=axi×Δt.

從零時刻起到最高點這段時間內依次取一小段一小段的時間間隔Δt則在x軸負方向有

在第1個Δt時間內 Δvx1=ax1×Δt=qBmvy1Δt，

在第2個Δt時間內 Δvx2=ax2×Δt=qBmvy2Δt，

在第3個Δt時間內 Δvx3=ax3×Δt=qBmvy3Δt，

在第n個Δt時間內 Δvxn=axn×Δt=qBmvynΔt，

把以上n個式子相加Δvx1+Δvx2+Δvx3+…+Δvxn=qBm（vy1Δt+vy2Δt+vy3Δt+…+vynΔt），

等號左邊Δvx1+Δvx2+Δvx3+…+Δvxn=Δvx=vm-0=vm，

等號右邊（vy1Δt+vy2Δt+vy3Δt+…+vynΔt）=ym，

即vm=qBmym，做到這我們就可以分析出 與 的關系在與⑥式聯列就可以求解了.

那么我們看出在這里面我們仍然用到了微元的思想進行求解.

從上面不難看出：微元法的解題思路是①選取“微元”，將瞬時變化問題轉化為平均變化問題（避免直接求瞬時變化問題的困難）；②利用數學“極限”知識，將平均變化問題轉化為瞬時變化問題（充分利用數學工具，既完成問題“轉化”且保證所求問題的性質不變，又能簡單地求得結果）.而學生通過上述過程的思考對學生的思維能力和綜合分析能力的提高會有很大的幫助.