一道自主招生題目的六種不同解法

相新蕾　周革潤　石磊

題目 在真空中，質量為m1和m2的兩個小球，只受萬有引力作用，某個時刻，兩球相距l0，m1的速度為v0，方向指向m2，m2的速度為v0，速度垂直于兩球球心連線，問當速度v0滿足什么關系時，兩個小球的間距可以為無窮遠.

解法一 把兩小球視為一系統，只有引力做功所以機械能守恒，是動能轉化為引力勢能的過程，引力勢能由-Gm1m2l0增加到0；又因為系統只受內力（引力），所以動量守恒，因此相距無窮遠時兩球速度不會變為零，即動能不會完全轉化為勢能，當兩球共速時系統損失的動能最大（類比完全非彈性碰撞），如果在這種條件下損失的動能恰能等于相距無窮遠系統需要增加的勢能，即找到了該題目速度的臨界值.

根據動量守恒有

m10+m20=（m1+m2），

v=m21+m22m1+m2v0，

根據機械能守恒有

-Gm1m2l0+m12v20+m22v20=0+m1+m22v2，

聯立可解得v0≥2Gml0.

解法二 從能量的角度分析，兩小球從當前位置到間距無窮遠處是動能逐漸轉化為引力勢能的過程，但是兩小球動能不會最終全部轉化為勢能，因為兩小球相互作用過程中只受到內力，不受外力，所以質心應該做勻速直線運動，質心動能不會減少，始終為m1+m22v2c.

c=m10+m20m1+m2，

vc=m21v20+m20v20m1+m2

=m21+m22m1+m2v0，

根據機械能守恒有

-Gm1m2l0+m12v20+m22v20=0+m1+m22v2c，

聯立可解得v0≥2Gml0.

解法三 該方法是由解法二衍生而來，選擇質心參考系，只有引力做功，機械能守恒.

根據柯尼希定理可知，初狀態兩小球在質心參考系中的動能之和：

Ek′=Ek-Ec=m12v20+m22v20-m1+m22v2c，

末狀態兩小球在質心參考系中的動能之和變為零，根據機械能守恒有

-Gm1m2l0+Ek′=0+0，

聯立可解得v0≥2Gml0.

解法四 選擇m1為參考系，則在該非慣性系下m2的初速度大小v=2v0，受到引力F和慣性力F慣的作用，圖2所示.

對于保守力F所做的功有

WF=-ΔEp=-Gm1m2l0，

慣性力 F慣=m2a1=m2Gm1m2l2m1=Gm22l2

=m2m1F，

慣性力所做的功WF慣=m2m1WF=-Gm22l0.

以m1為參考系，由于慣性力做功，所以機械能不守恒，根據質點系下的動能定理有

WF+WF慣=0-m22v2，

聯立可解得v0≥2Gml0.

解法五 仍然選擇m1為參考系，在解法三的基礎上，把引力F和慣性力F慣等效為新的力F′，則有

F′=F+F慣=Gm1m2l2+Gm22l2=Gm1（m2+m22m1）l2，

令M=m2+m22m1，則F′=Gm1Ml2.

F′的形式和F的形式完全相同，可等效一保守力，即把第二個小球視為質量為M的小球，只受一個保守力的作用，因此機械能守恒.等效質量M是由于力而引進的，對求第二個小球的勢能時有效，而求其動能時無效，根據機械能守恒有

-Gm1Ml0+m2v22=0+0，

聯立可解得v0≥2Gml0.

解法六 仍以小球1為參考系，根據約化質量定義：μ=m1m2m1+m2，此時不需要引進慣性力，則系統的動能為μ2v2，v為小球2相對于小球1的相對速度，v=2v0，

根據機械能守恒-Gm1m2l0+μ2v2=0.

以上六種解法都能得到v0的臨界值，v0應不小于該臨界值，即

v0≥G（m1+m2）l0，

若m1=m2=m，則v0≥2Gml0.

方法一從動量守恒、機械能守恒出發，方法二從能量轉化的角度出發，是學生最容易想到的兩種方法，但是要注意動能并不會全部轉化為勢能，這兩種方法從不同側面給予了解釋；方法三采用質心參考系，后三種方法都采用非慣性系，其中方法四根據動能定理，方法五利用等效力解決了非慣性力做功，從而滿足機械能守恒，方法六通過約化質量避免了慣性力.