“三角形內角和”如何變教為學

“三角形內角和”這一知識點的學習，在我國小學數學課程和初中數學課程中都有涉及。對于這一結論的嚴格敘述應當是“平面上任意三角形的三個內角之和等于180度”，之所以要限定“平面上”，是因為在球面上的三角形其內角之和就會大于180度（見圖1）。

圖1 球面三角形

一、歷史探源

關于“三角形內角和”的相關結論曾出現于古希臘歐幾里德（約公元前325年～公元前265年）所著的《原本》（Elements）中，其中第32個命題包含兩個結論，第一個結論為：“任意三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角之和，”第二個結論為：“三角形三個內角等于兩個直角?！盵1]（見圖2）

圖2 《原本》英譯本中第32個命題

歷史上在還沒有角的度量單位“度”的時候，通常是用“直角”和“平角”作為角的度量標準，小于直角的角叫作“銳角”，大于直角且小于平角的角叫作“鈍角”。小于平角的角叫作“劣角”，大于平角的角叫作“優角”?！对尽分兴f的“兩個直角”就是現在所說的“180度”。

《原本》中關于三角形的這一命題，歷經2000多年備受青睞。在美國威斯康辛大學圖書館收藏的一本名為《大眾宗教成果》（Popular Religious Works）中記載了17世紀法國數學家布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal，1623年6月19日～1662年8月19日）年幼時的一則故事（見圖3）。

圖3 記載帕斯卡年幼時故事的原文

帕斯卡12歲的時候，喜歡獨自在地板上擺弄小棒，拼擺各種幾何圖形。在這樣的過程中，他的父親驚訝地發現小小年紀的帕斯卡，能夠獨立得到古希臘《原本》中命題的結論“三角形三個內角之和等于180度”。因此知道帕斯卡對于幾何圖形及其之間的關系非常敏感，因此就將歐幾里德的《原本》給他閱讀，帕斯卡很快就掌握了其中的內容。

在我國小學數學教學中，為了體現所謂的數學文化，有教師會在教學過程中介紹這個故事。介紹時常常會說這個結論是法國數學家帕斯卡最先發現的，這顯然是個誤會。由于這一內容通常安排在小學四年級或五年級，學生年齡大約為10歲或者11歲。所以有教師會說：“同學們學會這個知識的年齡比帕斯卡還小呢，說明你們比帕斯卡更棒?！边@種說法對學生其實是一種“欺騙”。帕斯卡的數學才能絕不僅僅體現于知道還是不知道這個結論，而最主要的是他對數學探究強烈的動機，在玩耍的時間（Play Time）仍然沉迷于擺弄小棒。另外，帕斯卡是在沒有任何教師引導的情況下，完全獨立地探究出結論，而且能夠運用許多數學原理進行解釋和驗證。教師在教學中應當盡量避免將學生與歷史人物進行攀比，更不要在學生中形成“攀比與競爭”的氛圍。[2]攀比與競爭的氛圍對學生的發展是有負面作用的。

二、教學設計

人民教育出版社出版的《義務教育教科書數學-四年級下冊》中，關于這一內容的學習設計了兩個學習任務（見圖4）。

圖4 教科書示意圖

畫幾個不同類型的三角形。量一量、算一算，三角形3個內角的和是多少度。

先把一個三角形的3個角剪下來，再拼一拼。看一看，拼成了一個什么角。

這兩個任務的共同點是直接說出了操作的方法，也就是直接告知學生“怎樣做”，這樣會使學生缺失探究動機的感受，也就是缺失了對“為什么要這樣做”的思考。另外，這兩個任務都是將探究的目標直接定位于定量的結論“180度”，因而就缺少了對在“運動與變化中發現不變因素”探索規律的過程，也缺少了對這一結論定性的感知。

實際上，“平面上任意三角形的三個內角之和等于180度”中的“任意”二字，體現了這一結論的客觀性、規律性和普遍性。客觀性指的是結論的成立與否不依人的意志為轉移；規律性指的是“運動與變化”的過程中具有“不變”的因素；普遍性指的是只要是平面上的三角形都具有一個共同的屬性。這一結論從本質上說應當分為兩個命題分別敘述。

結論1：平面上任意三角形的三個內角之和是固定不變的常量。（也可以敘述為：平面上任意兩個三角形的內角之和都相等）

這樣的敘述從定性的角度揭示了三角形的屬性。無論什么樣的三角形，只要是三角形，其內角之和都不會改變。在此基礎上，人們自然關心的問題就是，這個常量是多少？因此就得到定量的描述。

結論2：平面上任意三角形的三個內角之和等于180度。（歐幾里德《原本》中的敘述是：平面上任意一個三角形的三個內角等于兩個直角）

此類內容在數學課程中屬于“規律性”知識，也即是對客觀規律的描述。關于規律性知識的認識實質上是“發現（Discover）”的過程?！鞍l現”過程的核心環節或核心活動是“觀察與比較（Observation and Comparing）”。觀察之前需要有建立觀察“對象與動機”的環節，也即“觀察什么”和“為什么觀察”的問題。觀察到的結論可以叫作“猜想”，猜想往往是直觀的、不嚴謹的，甚至是錯誤的。所以觀察之后需要有對“猜想”進行“解釋與驗證”的環節，最后是對確信無疑的結論進行“拓展與應用”的環節。[3]

除此之外，還應當考慮到，學生的學習應當基于已有的知識和經驗。在小學數學課程中與“三角形內角和”有關的知識主要包括：角的認識、銳角和鈍角、平角與周角、角的度量。這些內容都與本課內容的學習密切相關，因此教學過程中還需要有“回憶與復習”的環節。依據以上分析，本節課關于學習目標、學習任務、學習方式和學習活動的設計可以用如下表格的形式呈現。

在建立“對象與動機”的環節中，教師給學生布置的學習任務是：“用直尺和鉛筆畫出一個三角形，讓其中一個內角盡可能大。再畫出一個三角形，讓其中兩個內角盡可能小?！睂W生在畫的過程中會感受到兩個三角形有一個共同特征，就是一個角如果非常大，另外兩個角就會很小。另外一個可能感受到的結論是，任何一個角再大也不會大于180度的。平角。（見圖5）

圖5 三角形示意圖

在這樣的情況下，會讓學生產生“奇怪”的感覺，這種奇怪的感覺往往會給人帶來進一步探究的欲望。同時，當學生感受到“有大就有小，有小就有大”的現象時，或許就可以聯想到加法運算“和不變”的規律。[4]同時，就可能猜想到三個內角之和是固定不變的，為進一步探究奠定了對象和動機的基礎。

三、驗證方法多樣化

規律性知識的特點是結論具有確定性，但其發

現的途徑和解釋的方法往往具有多樣性。對三角形

內角和結論的“解釋與驗證”，在小學階段通常采用

測量、剪拼或者折疊的方法。這些方法具有直觀并且可操作的特點，易于為小學生所接受（見圖6）。

圖6 剪拼示意圖

初中階段通常采用兩種方法證明。第一種是利用類似于歐幾里德《原本》中的方法，即應用有關平行線同位角和內錯角相等的基本原理。將三個內角“搬”到同一個點上，通過平行線之間的關系可以發現三個內角共同構成了180度的平角（見圖7）。

圖7 證明示意圖

第二種是利用“任意多邊形外角和等于圓周角360度”的結論進行推理（見圖8）。

圖8 三角形外角和示意圖

圖8中三角形三個外角和等于360度，每個內角與相應外角構成平角180度，所以三角形三個內角之和等于：180×3-360=180（度）。

2011年4月，美國的一本名為《Math Horizons》的期刊，發表了一篇由James Tanton撰寫的題為“A Dozen ‘Elementary’ Questions”的文章。其中給出了一種關于“三角形內角和等于180度”直觀的解釋方法（見圖9）。

圖9 三角形內角和命題直觀證明

圖9中一共有7個三角形，其順序為從左上到右下。先在左上第一個三角形的左下頂點處放置一根火柴，而后逐步對這根火柴進行旋轉和平移運動。

第一次：將火柴依照一個內角旋轉到第二個圖所示的位置。

第二次：將火柴沿著三角形一條邊平移到第三個圖的位置。

第三次：將火柴依照另外一個內角旋轉至第四個圖的位置。

第四次：將火柴沿著三角形另外一條邊平移到第五個圖的位置。

第五次：將火柴依照第三個內角旋轉到第六個圖的位置。

第六次：最后將火柴沿著第三條邊平移到出發的起始位置。

此時的火柴與出發時的位置相同，但方向恰好相反?；鸩裾麄€運動過程包括三次平移和三次旋轉。平移是保持原有方向的運動，因此導致火柴方向相反的原因就是旋轉運動，三次旋轉的角度之和恰好是三角形三個內角之和，方向相反說明這個角度之和應當是180度的平角，因此就說明了三角形三個內角之和是180度。這個方法實際上與半圓形量角器的原理是相同的（見圖10）。

圖10 半圓形量角器

設想一支鉛筆水平放置在量角器底邊，繞一端旋轉180度后，其方向正好與旋轉前相反。用這樣的方法同樣可以證明任意多邊形的外角之和等于圓周角360度。運用這一方法的好處在于充分體現了“運動的眼光”在研究幾何形體中的作用。同時，也體現出“角”這一概念在數學中表示方向改變的重要作用，還體現出平移與旋轉的一個顯著差異，即平移運動是保持原有方向不變的運動，而旋轉運動是處處改變方向的運動。

“變教為學”倡導將以教師教的活動為主的課堂教學，轉變為以學生的學習活動為主的課堂教學。實現這種轉變的一個前提是能夠設計出有效的學習任務和學習活動。“變教為學”期望數學學習的過程也是學生全面發展的過程。對于人一生特別重要的是學習的動機和學習的方法。因此，在學習任務的設計方面，應當特別關注學生的“感受”，讓學生的學習成為“自愿”的活動。同時，對于諸如解釋與驗證的環節，應當充分尊重學生的“不同”方法，給學生闡述和解釋的機會，讓學生的學習成為“自主”的活動。

（首都師范大學初等教育學院 100048）

【參考文獻】

[1] Isaac Barrow. Euclid’s Elements. London[M]： Printed and Sold by W. Redmayne. 1714：25.

[2] 郜舒竹. “變教為學”意在立德樹人[J]. 教學月刊小學版（數學），2015（4）.

[3] 郜舒竹. “探索規律”釋義[J]. 課程·教材·教法， 2015（1）.

[4] 郜舒竹. “商不變”為何重要（一）[J]. 教學月刊小學版（數學），2011（5）.