從體育視角看“變教為學”的文化性

王赫彤

隨著課程改革的深入進行，育人為本的理念受到了廣大教師的重視，據此郜舒竹教授開展了以“變教為學”為主題的一系列研究。變教為學的主旨是在“以學為主”的理念下，學生自主或者合作開展學習活動，通過這些活動完成教學目標。也就是說，課堂中的主體要由教師轉變為學生，在明確一堂課需要“學什么”之后，還需要思考如何讓學生在學習數學的過程中獲得多方面經驗，在經歷社會活動的過程中習得相關數學知識。針對此類問題，探究數學課程內容以及教學的文化性是有所裨益的。這里所說的“文化性”是相對“工具性”而言，更重視知識的發生和發展的“過程性”“多樣性”以及“人文性”，盡可能地讓數學課程呈現出與人的情感、思維、行為、習慣等因素相關的事物或事件。[1]那么，教師在挖掘知識本質，溝通新舊知識聯系的同時，如何突顯數學課程內容的文化性是需要思考的問題。將數學課程內容與人文學科進行聯系，可以彰顯數學課程內容的文化性。

從體育學科的視角看小學數學課程內容是一件有價值的事情，也是一個新的嘗試。其價值性體現在體育活動與健康緊密相關，體育學科更符合小學生活潑好動的天性。若將體育內容融入數學教學，可以激發學生在數學學習活動中的興趣，更好地實現變教為學。經過探究發現，小學數學課程內容與體育的關系密切。下面就從體育視角出發探討如何實現變教為學的文化性，以“圓的面積”“負數的認識”兩課為例，說明如何選擇與“體育”相關的教學情境以及如何將知識的本質在活動中體現出來。

一、活動情境的選擇

學生可以自行完成教學目標是變教為學課堂的主旨。為了保證教學的順利進行，教師需要清楚學生可以“怎樣學”。活動情境的選擇是教學設計中重要的一部分，它要貼近學生的生活經驗，更要突顯數學的文化性，下面從體育視角對數學教學情境的創設提出一些新的思考。首先，所選擇的體育問題要與本課的數學思想緊密相關，讓學生因“需要”去用數學。為了達到這個效果，課程起始所用的活動情境要有能支撐起后續活動的特點，讓學生能夠帶著問題進行隨后的活動。其次，變教為學提倡的學習是主動發現與發明的過程。因此，情境應該具有啟發性，問題的解決過程要能激發學生探索知識的欲望，促使學生深入思考，引導學生在解決問題的過程中體驗數學思想在社會活動中的重要性。下面以六年級“圓的面積”教學為例作進一步說明。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》[2]中提出“探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題”。這就需要思考什么樣的活動情境可以同時達到上述兩個目標，既可以提升探究公式的興趣，又可以解決情境中的問題。對于“圓的面積”的活動引入，一種較為普遍的方式是計算草坪上的自動旋轉噴水器的灑水面積，學生根據情境立刻就會想到去求圓的面積。諸如此類實例的特點是直接快速地引出本課內容，但不足以貫穿活動始終，對學生興趣的激發也有待加強。為此，嘗試以學生熟悉的足球運動引出教學。所創設的情境是運用數學方法思考足球場的面積為多大時，可以保證比賽順利進行。“活動一”的任務如下：在足球比賽中，足協規定每支參賽隊伍11名球員（其中包括一名守門員），一名球員在控球時會發生三種動作：得球、確定傳球方向、傳球。每一個動作所需時間大約是1秒，運動員在控球時的運動速度大約為5m/s。根據這些條件，可以得出哪些結論？這一活動給了學生足夠的思考空間，學生可能會求出一名球員控球總時間為3秒，可能求出每名球員控球時將跑出3×5=15米的距離。所用的數學思想包括之前學過的速度與路程的關系、乘法的意義。接下來，在“活動二”中讓學生運用數學方法思考如何推導出球場的最佳面積。通過討論，學生可能會想到先確定每名球員控球時的運動范圍。這會促使學生回憶自己在足球運動中的場景，再結合“活動一”中所求出的數據，從而進一步產生探索圓的面積公式的興趣。思考過程如下：如圖1所示，由于每名球員控球時將跑出15米的距離，根據已有經驗，他跑的方向可能向四面八方，便可計算他在控球時的運動范圍，這個范圍是以15米為半徑的圓的面積。從“活動二”可以看出，當學生經歷了一系列思考，最終產生了求圓的面積的需求時，這種探索欲會更加強烈。

圖1 足球場上球員控球時的運動范圍

“活動三”是本節課的核心，探究圓的面積公式，也就是求出每名球員控球時的運動面積。學生可能會剪下一個圓形，利用拼剪的方法轉化成平行四邊形求得圓的面積公式，也可能會用將同心圓轉化成三角形的方式推導出圓的面積公式，此處不再贅述。最終，利用公式求出結果，即每位運動員在控球時的運動范圍約是707m2。“活動四”的任務是進一步推測整個球場的面積，并思考這樣計算的合理性。即將每名球員所需要的最佳運動范圍707m2與每隊上場隊員10人（去除一名守門員）相乘得到所有球員在運動時覆蓋的總面積約為7070m2，這就是球場的最佳大小，它保證了球員之間不會發生擁擠也不會距離過遠。通過查閱數據，與足協規定的7140m2大小接近。從這個實例中，學生感受到了數學思想在比賽場地設計中的實際應用，豐富了數學的人文內涵，獲得了除數學知識以外的經驗。

二、知識本質的體現

在郜舒竹教授的《“變教為學”說備課》[3]一文中提到，教師應當準確把握知識點的本質屬性。在學科融合的過程中，要時刻謹記上述要求。因此，在設計與“體育”相關的學習活動時，要讓學生能在活動中感受到知識的本質就需要教師根據內容本質選擇恰當的活動，具體方式以“負數的認識”一課為例。

負數作為一類新數出現在小學數學第二學段中，是建立在學生對“正數”理解的基礎上引入的。負數的出現，顛覆了學生已有的對數的認識。因此，要讓學生認識到負數出現的必然性就需要讓學生認識到負數是人類社會活動的產物。在活動設計之前，先從負數的歷史來了解其本質是必要的。從人類的實踐經歷來看，生產生活中常會出現盈利與虧損、增加與減少、賣出與買入、上升與下降等現象。這些在數學中都是對立事件，是相反意義的量。戰國時李悝的《法經》中已經出現使用負數的實際例子：“衣五人終歲用千五百不足四百五十。”這里的不足就是生活中所說的虧損。“在古代商業活動中，以收入為正，支出為負；在古代農業活動中，以增產為正，減產為負。”[4]像碰到這種具有相反意義的量，人們希望用具體數字表示這種關系。由此可看出負數的本質之一是描述相反意義的量。而負數的另外一個本質是表示小數減去大數所得的差，這一點可以從《九章算術》第八卷的“方程章”中看出。在這一章中主要討論了方程組求解的問題，并記載了正負數的加減運算法則。在解方程運用消元法時，常常會遇到小數減大數的情況，尤其是在移項的過程中這種情況更為常見，而且方程的解也不一定是正根。“在使用遍乘直除算法消元時可能出現減數大于被減數的情況，這時如果不引入負數就不能保障直除的順利進行。”[5]這說明為了使方程組能夠繼續解下去，并且能夠表示出小數減去大數的結果，人們發明了負數。

為了讓學生對負數的本質加深理解，就需要在活動中進行體驗。以往負數的教學設計常以溫度、海平面引出。參考美國麥格勞—希爾公司出版的加利福尼亞州小學數學教科書[6]發現，高爾夫運動中蘊含有負數的思想。高爾夫球雖是大家都聽過的健身項目，但對于它的具體規則多數人是陌生的，這在學生看來是較新穎的素材。現代高爾夫球運動誕生于蘇格蘭的圣·安德魯斯，17世紀高爾夫球運動被歐洲人帶到了美洲，19世紀20年代，傳到了亞洲，最后又傳到非洲，并成為權勢和財富的象征。現在高爾夫球運動已成為足球、網球之后公認的世界第三大運動。[7]高爾夫球的計分方法分為兩種：比桿賽和比洞賽。其中比桿賽較為常見，就以此為例。比桿賽是將每一洞的桿數累積起來，待打完一場（十八洞）后，把全部桿數加起來，以總桿數來評定勝負。[8]國際通用的標準桿是72桿，如果球員用80桿打完十八洞，他的成績就記為+8桿。如果用70桿打完，那么他的成績就記為-2桿，所用桿數越少成績越好。可以看出，總桿數只要少于標準桿，成績一定是負數，這表示了負數的本質之一：小數減大數所得的差。根據上述介紹，“活動一”先讓學生利用字典查找“正”“負”的含義。字典是學習數學的新型工具，在語文學習中字典有助于學生理解字義，在數學學習中字典讓抽象的數學語言形象化。通過字典在了解了正和負的字面含義之后，設計“活動二”，讓學生在具體情境中理解負數。首先介紹高爾夫球運動的計分規則，出示幾個球員完成比賽打的總桿數，例如：74桿和70桿，讓學生列式表達出他們的成績，即（74-72）分和（70-72）分。從而發現算式70-72會得出一類新的數，用“-2”表示，讀作“負2”，它來自于小數減去大數所得的差。這個活動不僅讓學生了解了一項新的體育運動規則，而且從本質上感受到了負數存在的必要性。在“活動三”中，先欣賞一段球員的比賽視頻，給出一組成績，讓學生先比較分數的大小，再判斷名次。談談高爾夫球運動的分數和名次的關系與其他運動相比有什么不同。通過這個活動，可以幫助學生認識正負數的大小。“活動四”的任務是讓學生試圖在一條數軸上表示出“活動三”中各球員的成績。目的是借助數軸理解數的大小比較規律以及0的特殊性。最后，在課程結束時讓學生讀一讀負數的歷史，再次體會負數的本質。以上四個活動都是由一項體育活動引出，任務既包含了對負數本質的理解、完成了教學目標，也滲透了數學的文化。

上述兩個教學設計從情境素材的選擇以及知識本質的體現方面說明了如何利用“體育”設計學習活動，兩個完整的教學設計實例不僅可以為“變教為學”的文化性研究提供參考，也可以促進數學與體育學科間的整合。這樣的設計思路有助于學生開闊眼界，使學生從多個角度思考問題，并且提升了學生的人文素養。

【參考文獻】

[1] 郜舒竹.“變教為學”的文化性[J].教學月刊小學版（數學），2014（9）：9.

[2] 中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[3] 郜舒竹.“變教為學”說備課[J].教學月刊小學版（數學），2014（1-2）：4.

[4] 陳振良.中國人最先使用負數[J].數學教學通訊，2005（7）：92.

[5] 李文林.數學史概論 [M].北京：高等教育出版社，2000：126.

[6] California Mathematics Grade 1-6[M].The United States： McGraw-Hill Companies，2009.

[7] 曹雅琴.論高爾夫球的起源與發展[J].體育文化導刊，2006（6）：82.

[8] 曲秀燕.現代體育運動項目概述[M].北京：北京體育大學出版社，2008：178.

（首都師范大學初等教育學院 100048）