讀懂教材 靈活應“變”

鄭燕

“數學廣角”是人教版教材獨有的內容，它的編排意圖在于系統而又有步驟地把一些重要的數學思想方法，通過學生可以理解的、日常生活中常見的最簡單的事例呈現出來，借助一些操作等直觀手段向學生進行滲透。“排列組合”的內容安排在“數學廣角”中，分別在二、三年級出現，新舊教材二年級都在上冊，三年級從上冊改到下冊。我們認真地對比這兩套教材，會發現同樣是這部分內容，它的結構和例題呈現形式及課后的習題都進行了一些調整。到底哪些“變”了，哪些“不變”， 為什么會發生這樣的變化，面對變化我們要做些什么呢？下面就讓我們一起走進新舊兩套教材，深入地來探討一下這個問題。

一、新舊對比，尋找不同

舊教材二年級上冊共設置3個例題：例1是簡單的排列，例2是最簡單的推理，例3是簡單推理。而新教材就安排2個例題，其中例1要探索的是用非0的3個數字組成沒有重復數字的兩位數的個數，這是一個排列問題。例2則緊密結合學生已有知識，讓學生從3個數中任取2個求和，確定得數的種類數，兩個數相加之和與數的先后位置無關，是組合問題；三年級都是3個例題，但出現的先后順序卻改變了，舊教材是組合—排列—組合，新教材改成排列—組合—組合，如此更改我們可以看出編者對排列組合內容的完整性和系統性的重視程度。

細細琢磨教材結構上的調整，我們不難領會編者的良苦用心。看舊教材的例1只給出了一幅學生用數字卡片擺兩位數的情境圖，要求用1，2能擺成幾個兩位數？用1，2，3呢？例題雖然關注了學生的動手操作和合作交流，卻忽略了解決問題的思考過程，未能突出有序思考在這節課的價值所在。而新教材的例1則用1，2和3組成兩位數，每個兩位數的十位數和個位數不能一樣，能組成幾個兩位數？考慮到學生的知識起點，設置有一定的思維含量的例題，讓學生從3個數中任選2個數擺成兩位數比單純地用2個數擺兩位數更豐富，更具挑戰性。例題要求十分明確，學生不僅讀懂了要選2個數擺，而且還知道擺成的兩位數十位和個位不能一樣，避免出現一些不必要的干擾，也為正確解決問題做好準備。第一幅圖呈現了兩名學生獨立思考、動手尋找的情境：擺數字卡片無序尋找；借助數位表，按照規律交換兩個數字的位置尋找。第二幅圖呈現了學生進行組內交流的情況，“我擺得有點亂”“我按規律寫就不亂了。你也按規律擺一擺吧”體現了學生對于自己解決問題過程的反思，滲透有序思考的方法。最后小精靈問的“怎樣做才能不重不漏”集中全班交流的焦點問題，再次引導學生梳理思考過程，進一步感受有序思考的好處，整個過程學生的思維是循序漸進的。相比舊教材，新教材更注重以解決問題的思路引導學生學習，先讓學生明白要解決的問題，懂得組數的要求，除在教材中呈現調換位置有序思考外，還留給學生發展的彈性空間，允許學生用不同的方法解決問題。這樣設置，不僅給教師指明了備課教學的方向，學生通過教材也會得到啟發，不斷調整探究的方式和方法，達到思維的嚴謹和創新。

舊教材二年級的例1后面的習題有兩道，一道是組合，一道是分類列舉，學生由例1排序的學習直接過渡到組合與分類問題，解答起來有一定的難度，無法形成比較完整清晰的認知結構。而新教材將排列和組合分兩個例題來教學，減緩了難度，加強了學生對與事物順序有關和無關的問題的認識，而且在每個例題后都配備了相類似的習題，先模仿再提升，達到逐步內化。

二、瞻前顧后，完美銜接

只有了解課程背景，理解教材意圖，學會正確看待例題的編排順序，掌握各部分內容的教學目標和重難點，才能把握不同年級的目標和要求，做到不越位、不拔高，拾級而上，從而實現前后知識的完美銜接。

關注二年級的排列組合時，不禁想起一年級下冊“綜合與實踐”中的“擺一擺，想一想”一課，它通過在數位表上擺圓片的活動，鞏固數位和位值的概念；通過探究圓片個數與所擺出的數的個數之間的關系，發現規律并應用規律解決一些簡單的問題；通過學生自主探索體會有序思考的重要性。整個過程學生利用數位順序表，加深了對數的認識，經歷了擺到不擺的抽象過程，從2個圓片擺幾個兩位數入手，到擺3個、4個，再到不擺想一想9個、10個、11個圓片又能擺出幾個數，學生在活動過程中逐步感受到有序思考的價值。有了前期的鋪墊，學習二年級的排列問題時，再次感受有序思考似乎已水到渠成，順理成章。

再看三年級的排列組合，內容和出現的先后順序都有變化。舊教材的例題的呈現順序常常讓教師感覺凌亂和不順暢，調整后顯然將這一糾結的問題給排除了。例1是“用0，1，3，5能組成多少個沒有重復數字的兩位數？”雖說都是組成兩位數，相比二年級難度明顯加大，原來是3個數里選2個數組成兩位數，現在是4個數中選2個數，學生不僅要應用曾經掌握的方法有序思考，而且無論是用分類計數法還是分步計數法都要考慮排除最高位不能為0的情況，思維靈活，學生不能機械地照搬原模式，需全方位考慮問題，活學活用，凸顯排列組合問題變幻多端的特性。例2服裝搭配，例3體育中的數學，兩個例題都是通過連線來記錄不同的穿法，屬于組合的范疇。根據學生的知識基礎和解題方法的積累，對其要求明顯提高，學生不僅要會連線表示搭配方法，還要會用簡單的圖形或符號表示出自己的想法和思考過程，更加簡潔、直觀。我們知道，直觀的符號化的問題分析方式，是最能為小學生接受和模仿的。學生通過畫一畫、擺一擺、連一連等形式，不僅能找出簡單事物的排列數和組合數，而且會體驗到計數時，如何全面、有序、簡捷地去思考問題。更重要的是，畫、擺、連、觀察等這些具體的、可操作的技能，是學生學習數學包括任何問題的解決，都可依憑的“通法”。

兩個年級教學的目標一致，但教學的側重點還是有所不同的。二年級更側重：（1）枚舉法羅列出幾種情況；（2）在羅列的基礎上數出個數。而三年級則側重：（1）符號化思想的滲透；（2）排列的原理在教學過程中更加明晰，如解決這個問題要分幾步，第一步有幾種方法，第二步有幾種方法等，學生在畫圖的過程中就能清楚地看出。

三、綜觀全局，靈活應變

排列組合問題和日常生活聯系緊密，如體育中足球、乒乓球的比賽場次，密碼箱、手機中密碼的排列數，車牌、電話號碼的升位，還有大家研究和關注的彩票中獎號碼等。但它又是中學數學中較特殊的一個內容，是教學中的一個難點，學生解題常出差錯，所以我們在教學時要特別重視滲透數學思想方法，不斷提高學生的數學境界，使學生從數學思想的層面上去理解它。因此，我們在平時的教學中要關注以下三點。

（一）始終貫徹“有序思考”

“有序思考”不僅表現在例題教學中，在練習環節的設計時也要不斷滲透。如教學二年級例1的搭配后設置這樣的鞏固練習：讓學生用紅、黃、藍三種不同的顏色給福建和江西兩省涂上不同的顏色，一共有幾種涂色方法。它與例題的思考過程相同，只是排列的對象發生變化，用三種顏色中的兩種進行排序，涂顏色對于學生來說是直觀且感興趣的，這樣安排能再次激起學生選擇方法有序搭配的熱情；接下來是三種顏色給三個省上色，學生就要綜合應用“定位”和“調換位置”兩種方法進行有序思考。帶著解決問題的愿望去探索，體會排列對日常生活中問題的意義所在，在獲得問題解決的同時，有序思考的意識已深入腦中。

（二）引導學會“分類討論”

分類討論是一種邏輯方法，是按照一定標準把研究對象的范圍劃分成若干個小范圍，在不同范圍采取不同的方法。如練習題“用1角、5角和1元硬幣可以組成多少種不同的幣值？”要解決這個問題首先要明確分類，即按照1枚、2枚、3枚硬幣三類情況分類，任選2枚或3枚硬幣時是組合問題。共有7種不同的幣值：由1枚硬幣組成的幣值是1角、5角、1元；由2枚硬幣組成的幣值是6角、1元1角、1元5角；由3枚硬幣組成的幣值是1元6角。再如例題：服裝的搭配，可討論1件上衣配下裝有三種情況，2件上衣配下裝就有六種情況；也可從下裝入手，1件下裝搭2件上衣兩種情況，3件下裝搭2件上衣就有六種情況。由此可見，分類討論思想是一種重要的數學思想，同時又是一種重要的解題策略，在排列組合的教學中要始終貫徹。

（三）自主選擇“表達方式”

排列組合知識到高中二年級才要系統學習，而小學教材編排排列組合內容，其意圖肯定不是想讓小學生學習什么是排列、什么是組合、分類計數原理等深奧、系統的數學知識。從教材所提供的解答思路可見，5個例題的解答全部采用了畫線、羅列、畫表的方式進行展開分析，學生能理清自己的思路，并清楚地用語言講清思考過程和對問題的理解過程，能夠由直觀到抽象，應用簡潔的符號表達，得出計數的結果。在此過程中，算式沒有出現，但教師在教學中，根據羅列的結果進行適當提煉，正所謂“提領而頓，百毛皆順”，讓學生領悟、感知解決問題的方法，扎扎實實地掌握直觀表達方式，以不斷積累對排列組合情境的形象感知。

總之，在小學階段的排列組合例題教學中，我們只要求學生能根據實際問題，找到最簡單事物的排列數和組合數，并能感受到有的與排列順序有關、有的與排列順序無關就可以了。數學思想方法的把握不可能一蹴而就，而是一個潛移默化、逐步提升的認識過程，我們要在各個教學環節認真地加以挖掘、提煉，不斷地進行滲透，逐步培養學生有序、全面地思考問題的意識。

（福建省福州市井大小學 350001）