高中數學中恒成立問題解析

賴杭珍

高中數學的恒成立問題一直以來都是重點、難點，尤其是含參數的函數恒成立和不等式恒成立問題更是高考熱點題型之一.此類問題往往涉及面廣、難度大、綜合性強，解決此類問題所需的數學思想、方法較多，是衡量考生綜合能力素質的一個重要指標，并且這類問題沒有辦法用固定的思維方式解決，在各類考試甚至高考中都屢見不鮮.

函數是不等式恒成立問題的主要載體，通常通過不等式恒成立問題考查等價轉化思想、函數的最值或值域等知識，對涉及已知函數在給定區間上恒成立，求參數的取值范圍、證明不等式等問題，大多數題目可以利用分離參數的方法，將問題轉化為求函數的最值或值域問題.本文就此作探討.

“主元”型這類題型是指題目中出現兩個參數，通常給出其中一個參數的范圍，求另一個參數的范圍或用已知參數表示另一個參數，其解題途徑是以所求參數為“主元”，利用函數圖像或分離變量法求解.

反思：求函數的最小值時，由于含有參數m，因此要分類討論，并結合函數的圖像進行考慮，過程比較復雜，因此分離變量后求函數最值應是解題的首選，但求函數的單調區間會有一定的阻礙.

【評注】研究不等式f（x）>0在區間A上恒成立，求其中參數a的取值范圍問題，一般有兩種方法：

第一種方法，直接轉化為研究帶參數的動態函數y=f（x）在區間A上的最值.由于函數y=f（x）帶有參數，它在區間A上的單調性會由于參數a的不同而變化，因此需要分類討論.由于函數y=f（x）的單調性和其導函數在區間A上的零點個數有關，問題最后都歸結為就函數y=f′（x）在區間A上的零點個數分類討論.

第二種方法，將不等式f（x）>0作變形，將參數a和變量x進行分離，將不等式轉化為h（a）>g（x）（或h（a）zL/UIQki+gQqJp7tuK3zY/k7HB2Gi+mYwRcEAQWQnKw=

值）的問題，即“大于最大值，小于最小值”.由于y=g（x）不含參數，其在區間上的單調性是確定的，就不需要分類討論.但要注意的是，有時候由于函數y=g（x）形式比較復雜，研究起來也不一定方便.

反思：通過上述幾個例子可以發現，在恒成立問題中首選方法是利用分離參數的方法轉化為求新函數的最值問題，但是分離參數并不是萬能的，有些函數在分離變量后較復雜，不易求最值，甚至有些函數在分離變量的時候具有一定的難度.如果分離參數比較復雜或者不能分離參數時，一般選擇函數的方法，通常利用函數的最值解決.

【評注】本題的題型是含參恒成立問題，關鍵一是求的x是的取值范圍，所以應該把x看為參數;關鍵二是靈活創造，

恒成立問題是函數內容的精華，是數學試題中的重要題型，涉及數學中各部分知識，如導數，函數最值和值域，不等式，等等.涉及題型一般是已知不等式恒成立，求參數的取值范圍.常見的方法有最值法，分離變量法，變換主元法等.但其核心思想還是等價轉化，只有抓住了這點，才能以“不變應萬變”，當然這需要我們不斷地領悟、體會和總結.