曲線軌跡方程的常見求法

高雄英

求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系.這類問題除了考查對圓錐曲線的定義＼性質等基礎知識的掌握外，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點.

一、直接法

將動點滿足的幾何條件或等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程.

例1：已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數λ，求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.

解：建立坐標系如圖所示，設|AB|=2a，則A（-a，0），B（a，0）.

設M（x，y）是軌跡上任意一點.

二、定義法

若動點軌跡的條件符合某一基本曲線的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），則可用定義直接探求.

例2：某檢驗員通常用一個直徑為2cm和一個直徑為1cm的標準圓柱，檢測一個直徑為3cm的圓柱，為保證質量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？

分析本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程及將實際問題轉化為數學問題的能力.

解：設直徑為3，2，1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉化為求兩等圓P、Q，使它們與⊙O相內切，與⊙A、⊙B相外切.

建立如圖所示的坐標系，并設⊙P的半徑為r，則

|PA|+|PO|=（1+r）+（15-r）=2.5

∴點P在以A、O為焦點，長軸長為2.5的橢圓上，

當然，求軌跡方程時，一定要注意軌跡的純粹性和完備性，注意去“雜”、“補漏”;同時還要注意區別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.