淺談初中數學教學中的函數思想和方程思想

張暉萍

一、引言

百年大計，教育為本。隨著我國教育事業的發展，初中數學教育越來越重視學生數學思想的培養。數學思想在數學教育之中有著重要的地位，它是數學學習的靈魂所在，關系著學生數學學習的效率及學生對于數學問題的解答質量。初中生數學思想的培養旨在幫助學生更好地理解初中數學中的概念及重點。初中數學教學大綱中涉及的數學思想主要有：函數思想、方程思想、建模思想、轉化思想及數形結合思想等。其中，函數與方程思想是初中數學教育的重點培養思想。本文通過分析二者概念的定義，并結合具體的應用實例，旨在幫助中學生更好地理解函數思想及方程的本質，提高學生在面對具體數學問題時的應用能力。

二、相關概念

（一）函數思想

在初中數學教學中，首先引出的是函數的概念。函數描述的是自然界中數量之間存在的關系。函數思想主要是通過具體問題的數學特征，分析具體數學量之間的關系，進而建立數學模型，從而進行問題的深入研究。初中數學中的函數思想主要體現在學生“聯系和變化”的能力。在具體解題中，首先應該根據題意構建函數y，然后再利用函數的增減性、最大值和最小值、圖像變換等對問題進行具體的分析。初中數學中的函數模型主要有一次函數、反比例函數、二次函數、銳角三角函數等幾類，大部分的數學函數題也是圍繞這幾類函數模型的。

函數思想并不只是針對函數類數學題而存在的。函數思想雖然基于學生對函數的概念及性質的掌握，但是在各類數學題中都能得到體現。這就要求在具體的解題中，應該善于挖掘題中的隱含條件，進而構造出函數模型。初中生在解數學題過程中應該鍛煉自己的審題能力，能夠對題目進行充分、全面的解讀，這是培養學生函數思想的重要前提。

（二）方程思想

初中數學教材中涉及的方程思想主要立足于具體數學問題的數量關系，然后通過學生正確理解，將問題中所給的語言文字轉化為相應的數學語言，進而轉化為既定的數學模型。這里提到的數學模型包括方程、不等式、混合式（方程與不等式共存），然后通過計算獲得方程或者不等式的解，從而使得數學問題得到解決。值得強調的是，與函數思想一樣，方程思想的適用范圍很廣，它并不只針對方程問題存在。就像前面提到過的不等式中同樣用到了方程思想。隨著對初中數學的進一步學習，我們能夠體會到方程思想的用處很廣，它會潛移默化地影響學生的解題思路，幫助學生提高解題能力。

笛卡爾將方程思想進行了具體的概括，他認為的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。在數學領域，幾乎到處都有等式與不等式存在。初中數學作為數學教育的基礎教育，大部分內容都是建立在等式與不等式之上的。哪里有等式，哪里就有方程思想。具體應用到初中數學中，設未知數、列方程、研究方程、解方程都是學生應用方程思想的重要體現。

三、應用案例

（一）函數思想的應用

我們在初中數學中所遇到的數量關系有時沒有那么直觀，如果利用函數思想建立數學量之間的函數關系模型就能夠有效解決這一問題。通過構建具體的函數模型研究初中數學問題，可以使很多東西簡單化。同時，培養學生的函數思想有助于其學習能力的提高、學習成績的進步。

例如：據報載，我省人均耕地已從1951年的2.93畝減少到1999年的1.02畝，平均每年減少0.04畝。若不采取措施，繼續按此速度減下去，若干年后我省將無地可耕，無地可耕的情況最早會發生在（ ? ?）。

A.2022年？搖？搖B.2023年？搖？搖C.2024年？搖？搖D.2025年

解：設x年后我省可耕地為y畝，則y與x的函數關系式為y=2.93-0.04x。

令y=0得x=73.25。

考慮實際情況x應取74，無地可耕的情況最早會發生在1951+74=2025，所以應該選D。

上述例題的解答問題就體現了函數思想。通過建立時間與耕地面積的函數關系使題目簡單化。倘若直接計算，也能得到正確答案，只是解答過程會相對繁瑣并且容易出現錯誤。其實，利用函數思想解決初中數學問題的中心思想很簡單，就是構建函數關系式。但具體應用起來并非易事。學生要綜合考慮函數的性質、圖形及實際情況解答問題，并不是單純地列出函數式就可以了。教師應加強學生的相關練習。

（二）方程思想的應用

1.方程的思想在代數中的應用：對于一些概念性的問題可以用方程的思想解決。

例如：1）■+1與■互為相反數，求m的值;

2）p（x，x+y）與q（y+5，x-7）關于x軸對稱，求p、q的坐標。

解題思路就是根據給出的語言描述，利用相反數的概念及關于x軸對稱的性質列出相應的方程式，然后對方程式進行求解。

2.方程的思想在幾何中的應用：最典型的就是給出邊（角、對角線、圓的半徑）的比，求有關的問題。

例如：若三角形三個內角之比是1∶1∶2，判斷這個三角形的形狀。

解題思路為：設每一份為x，三個角分別就是x，x，2x，

則x+x+2x=180，解方程得x=45，所以該三角形為等腰直角三角形。

從上面的例子可以看出，方程思想在具體應用中就是利用方程觀點，用已知量和未知量列出等式或者不等式，然后再對方程進行求解。教師應該加強培養學生根據題意列方程的能力，這是利用方程思想解題的關鍵所在。

四、結語

函數思想與方程思想作為重要的數學思想，都能體現出數學的本質、數學能力及數學的學科特點。這兩種數學思想在初中數學中屬于最基本的解題思想。對于初中學生而言，加強函數與方程思想的訓練能夠不斷增強學生思維的靈活性，進而提高初中學生的數學解題能力。

函數思想的運用主要是把具體數學問題中的量分為變量和常量，分析它們之間的關系，用函數式的形式表現出來，然后再根據函數的性質解決問題;而方程思想對具體數學量的劃分包括已知量和未知量，然后分析它們之間的關系列出方程式（或者不等式），再通過解方程、分析方程等方法解決問題。換句話說，函數與方程的思想就是通過分析數學量的關系，將其與函數或方程聯系起來，從而解決問題。但是值得注意的是，數學思想作為解數學題的指導思想，并不是相對獨立的，利用方程思想解決函數問題或者利用函數思想解決方程問題的情況也時有發生。這與數學自身的學科特點也有一定的聯系。在初中數學中，同一內容可以表現不同的數學方法，同一數學方法也可能分布在不同的知識點中，所以在課堂教學中應該幫助學生不斷概括、整理數學方法，使學生在應用的同時更好地掌握多種數學思想。