第11講 “動手操作問題”復習精講

劉頓

專題精講

所謂“操作”，是指人用手活動的一種行為，也是一種技能，含義很廣泛.一般是指勞動、勞作，或者按照一定的規范和要領操縱動作，數學中的操作題一般是需要對數的設置或對圖形的變換、剪拼等，由于此類試題既可以有效地鞏固數學知識，又可以提高同學們的動手能力，所以中考中頻頻“上演”此類問題.

重點題型例析

一、對數的操作

例1（2014.婁底）按照下面所示的操作步驟，若輸入值為3，則輸出的值為________.

分析：由操作程序可知，32=9<10，來確定運算程序，按“加上2”再“乘以5”輸出.

解：由32=9<10.可知應選擇“是”的運算程序計算，（9+2）x5=55，即輸出的值為55.

反思：解此類題時，應正確地選擇運算操作程序，避免：①錯選“否”的運算程序；②錯把10作為一個結果參與運算；③不按每一步的結果得數進行計算，如32+2x5=19.

二、對式的操作

例2 （2014.臺州）有一個計算程序，每次運算都是把一個數先乘以2，再除以它與1的和，多次重復進行這種運算的過程如下：

則第n次的運算結果=________.（用含字母x和n的代數式表示）

分析：要探究操作的第n次運算結果，可分別將第2、3、4次的分式計算、化簡，再將化簡后的分式列表分析、發現規律.

解：依題意，可列表如表1.

四、閱讀與操作

例4 （2014.山西）閱讀下列材料，按要求完成相應的任務.

幾何中，平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四邊形，大家對于它們的性質都非常熟悉，生活中還有一種特殊的四邊形——箏形，所謂箏形，它的形狀與我們生活中風箏的骨架相似.

定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形，稱之為箏形，如圖4，四邊形∠ABCD是箏形，其中AB=AD，CB=CD.

判定：①兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形.②有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形.

顯然，菱形是特殊的箏形，就一般箏形而言，它與菱形有許多相同點和不同點.如果只研究一般的箏形（不包括菱形），請根據以上材料完成下列任務：

（1）清說出箏形和菱形的相同點和不同點各兩條.

（2）請仿照如圖5的畫法，在如圖6所示的8x8網格中重新設計一個由四個全等的箏形和四個全等的菱形組成的新圖案，具體要求如下：①頂點都在格點上；②所設計的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；③將新圖案中的四個箏形都涂上陰影（建議用一系列平行斜線表示陰影）.

分析：（1）利用菱形的性質以及結合圖形得出箏形的性質分別得出異同點即可.（2）利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義結合題意得出答案，顯然答案不唯一.

解：（1）相同點：①兩組鄰邊分別相等；②有一組對角相等；③有一條對角線垂直平分另一條對角線：④有一條對角線平分一組對角；⑤都是軸對稱圖形；⑥面積等于對角線乘積的一半.不同點：①菱形的對角線互相平分，箏形的對角線不互相平分；②菱形的四邊都相等，箏形只有兩組鄰邊分別相等；③菱形的兩組對邊分別平行，箏形的對邊不平行；④菱形的兩組對角分別相等，箏形只有一組對角相等；⑤菱形的鄰角互補，箏形的鄰角不互補；⑥菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，箏形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形.（2）答案不唯一，如圖7所示中的任意一種情形.

反思：求解此類問題時，一定要充分借助網格特點進行作圖，解題的關鍵是正確理解平移、軸對稱、旋轉以及中心對稱圖形、軸對稱圖形的意義.

五、裁剪操作

例5 （2014.寧波）用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個盒子由3個矩形側面和2個正三角形底面組成，硬紙板以如圖8所示的兩種方法裁剪（裁剪后邊角不再利用）.

A方法：剪6個側面：B方法：剪4個側面和5個底面，

現有19張硬紙板，裁剪時x張用A方法，其余用B方法.

（1）用含x的代數式分別表示裁剪出的側面和底面個數.

（2）若裁剪出的側面和底面恰好全部用完，則能做多少個盒子？

分析：（1）根據一張硬紙板用A方法剪6個側面 ，B

六、對圖形的分割操作

例6 （2014.漳州）如圖9，△ABC中，AB=AC，∠A=36。，稱滿足此條件的三角形為黃金等腰三角形.請完成以下操作（畫圖不要求使用圓規，以下問題所指的等腰三角形個數均不包括△ABC）：

（1）在圖9中畫1條線段，使圖中有2個等腰三角形，并直接寫出這2個等腰三角形的頂角度數分別是______度和______度.

（2）在圖10中畫2條線段，使圖中有4個等腰三角形.

（3）繼續按以上操作發現：在△ABC中畫n條線段，則圖中有______個等腰三角形，其中有______個黃金等腰三角形.

分析：（1）利用等腰三角形的性質以及∠A的度數，進而得出這兩個等腰三角形的頂角度數.（2）利用（1）中思路進而得出符合題意的圖形.（3）利用畫1條線段可得到2個等腰三角形，畫兩條線段可得到4個等腰三角形，畫3條線段可得到6個等腰三角形，進而得出規律求出答案.

解：（1）如圖9所示AB=AC，∠A =36。，故當AE=BE時，∠A= ∠ABE=36。，則∠AEB=108。，則∠EBC=36。，故這兩個等腰三角形的頂角度數分別是108度和36度.

（2）畫法不唯一，如圖10所示，四個等腰三角形分別是：△ABE，△BCE，△BEF，△CEF

（3）如圖11.畫1條線段可得到兩個等腰三角形，畫兩條線段可得到4個等腰三角形，畫3條線段可得到6個等腰三角形，…，在△ABC中畫n條線段，則圖中有2n個等腰三角形，其中有n個黃金等腰三角形.

反思：本題既是一道操作題，又是一道問題的探究題，求解時應注意作圖技巧，靈活運用等腰三角形的性質，其中探究出分割圖形的規律是解題關鍵.另外，在（2）中當畫出線段BE時，余下的也可以過C作∠C的平分線交BE于點F

七、折疊操作

例7 （2014 臨沂）對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下：

第一步：先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開，

第二步：再一次折疊，使點A落在MN上的點A’處，并使折痕經過點B，得到折痕BE，同時，得到線段BA’，EA’，展開，如圖12.

第三步：再沿EA’所在的直線折疊，點B落在AD上的點B'處，得到折痕EF，同時得到線段B’F，展開，如圖13.

（1）證明：∠A BE=300.

（2）證明：四邊形BFB’E為菱形.

分析：（1）根據點M是AB的中點判斷出A’是EF的中點，然后判斷出BA'垂直平分EF，根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BE=BF，再根據等腰三角形“三線合一”的性質可得∠A’BE=∠A 'BF，根據翻折的性質可得∠ABE= ∠A 'BE，然后根據矩形的四個角都是直角計算即可得證.（2）根據翻折變換的性質可得BE=B'E，BF=B'F，然后得出BE=B'E=B'F=BF，再根據四條邊都相等的四邊形是菱形證明.

解：（1）由對折AD與BC重合，折痕是MN，故點M是AB的中點，故A’是EF的中點，因∠BA’E= ∠A =90。，故BA’垂直平分EF，故BE=BF，故∠A' BE= ∠A 'BF，由翻折的性質，∠ABE=∠A'BE，故∠ABE= ∠A 'BE=∠A，BF，故∠ABE（）×90。=30。.

（2）沿EA’所在的直線折疊，點B落在AD上的點B’處，故BE=B'E，BF=B'F因BE=BF，故BE=B'E=B'F=BF，故四邊形BFB'E為菱形.

反思：本題通過操作，意在考查矩形、菱形、線段垂直平分線等知識.解答折疊問題的一般思路：分清折疊前后的對應邊、對應角、對稱軸，利用對稱軸是對應點所連線段的垂直平分線尋找相等的線段或角，進行相關的計算或證明.

中考命題預測

1.在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中點，過點D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有____條.

2.如圖14，將網格中的三條線段沿網格線平移后組成一個首尾相接的三角形，至少需要移動____格.

3.如圖15，將一副七巧板拼成一只小動物，則∠AOB=____.

4.如圖16，小亮拿一張矩形紙如圖16 （1），沿虛線對折一次得圖16 （2），將對角兩頂點重合折疊得圖16（3）.按圖16（4）沿折痕中點與重合頂點的連線剪開，得到三個圖形，這三個圖形分別是（）.

A.都是等腰梯形

B.都是等邊三角形

C.兩個直角三角形，一個等腰三角形

D.兩個直角三角形，一個等腰梯形

5.在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，其具體操作過程是：

第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖17）：

第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖l8）.

請解答以下問題：

（1）如圖18，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結論.

（2）在圖18中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出{符合（1）中結論的三角形紙片BMP？

6.現有一張長和寬之比為2：1的長方形紙片，將它折兩次（第一次折后也可以打開鋪平再折第二次）.使得折痕將紙片分為面積相等且不重疊的四個部分（稱為一個操作），如圖19（虛線表示折痕）.

除圖19外，請你再給出三個不同的操作，分別將折痕畫在圖20（1）至圖20（3）中（規定：一個操作得到的四個圖形，和另一個操作得到的四個圖形，如果能夠“配對”得到四組全等的圖形，那么就認為是相同的操作.如圖19（2）和圖19（1）是相同的操作）.（上接第26頁）點同時從點P 出發，點A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運動.設運動時問為t（s）.

（1）求PQ的長.

（2）當t為何值時，直線AB與00相切？

3.如圖8，在平行四邊形ABCD中.AD=4 cm，∠A=60。，BD ⊥AD.一動點P從A出發，以每秒l cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PM⊥AD.

（1）當點P運動2 s時，設直線PM與AD相交于點E，求△APE的面積.

（2）當點P運動2s時，另一動點Q也從A出發沿A→B→C的路線運動，且在AB上以每秒l cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2 cm的速度勻速運動.過Q作直線QN，使QN∥PM.設點Q運動的時問為t（0≤t≤10）s，直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S（ cm2）.求S關于￡的函數關系式.