第14講 “代數與幾何的綜合問題”復習精講

王鋒

專題精講

代數與幾何的綜合問題是指代數知識與幾何知識相互交融渾然一體的一類綜合題.這類問題通常以幾何圖形（或將圖形坐標化）及函數圖象為背景，輔助于圖形的運動與變換（平移、旋轉、對稱）手段，融人函數（包括銳角三角函數）、方程、不等式等代數的核心知識，來綜合考查學生運用所學的基礎知識和基本技能、掌握的數學思想方法進行分析問題、解決問題的能力.題型大致可分為：（1）數、式與幾何圖形的綜合問題；（2）平面直角坐標系中的幾何運算問題；（3）方程、不等式與幾何圖形的綜合問題；（4）函數與幾何圖形的綜合問題，

解決代數與幾何綜合問題的基本思路：第一，要認真審題弄清問題的條件與結論.盡可能分析轉化問題中的顯性條件，挖掘問題中的隱含條件.第二，充分關注幾何圖形的結構特征，發揮幾何直觀的導航作用.對復雜圖形我們要學會識圖，從中發現并分離出能夠幫助解決問題的基本圖形，或添加適當的輔助線構造基本圖形，以便聯想基本圖形的性質去解決問題.第三，根據綜合題設計的結論分步探究的特點，我們要學會從題目中尋找代數與幾何這兩部分知識的結合點，進行“肢解”.轉化為簡單的代數或幾何問題，發現解決問題的突破口.從而“化整為零，各個擊破”.最后，要充分發揮數學思想和方法的引領作用.分析與綜合、分類討論、函數、方程、數形結合、歸納與猜想等都是解決這類問題有效的數學思想和方法，特別是數形結合思想——由形導數、以數促形，可以架起連接代數與幾何的橋梁，實現數與形之間的相互轉化，幫助我們另辟蹊徑，曲徑通幽.

歷年來，全國多數地區中考試卷的“代數與幾何的綜合問題”大部分是以“解答題”的形式出現在最后三、四道題，難度較大，從河南省的近三年試卷來看更是如此.2015年我們既要注意通過探究線段長度滿足的數量關系判斷構成的特殊形狀的幾何圖形（如等腰三角形、矩形、菱形、正方形）的開放性問題或解決有關幾何圖形的周長與面積的計算問題，更要關注平面直角坐標系中幾何圖形的有關計算問題以及以三種函數圖象為背景與幾何圖形融合于一體，判斷點、等腰三角形、特殊四邊形的存在性問題.

重點題型例析

一、數、式與幾何圖形的綜合問題

這類問題通過給出一組具有某種特定關系的數、式、幾何圖形或給出與圖形有關的操作變化過程，要求通過觀察、分析、推理發現其中蘊涵的數學規律，進而歸納或猜想出一般性的結論.

解決與幾何圖形有關規律的問題，我們應從分析圖形結構的形成過程人手，從特殊到一般、從簡單到復雜進行歸納猜想從而獲得隱含的數學規律，并用代數式描述出來，進而解決相關的問題.

例1 （2014.荊門）如圖1，在第1個△A1BC中，∠B=300，A 1 B=CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到

二、坐標系中的幾何運算

由于新課標對邏輯推理能力的要求有所削弱，一些高難度的純幾何問題被命題專家摒棄，取而代之出現了一類“坐標幾何問題”，這類題目巧妙地將幾何圖形置于平面直角坐標系中，將圖形坐標化，通過點的坐標來體現圖形中線段的長度，或給出圖形中線段的長度來確定圖形頂點的坐標或滿足某種條件的特征點的坐標，并輔助于圖形的折疊、平移、旋轉等變換手段，巧妙地將幾何和代數知識糅合在一起.解決這類問題要掌握圖形變換的基本特征，關注動點與靜點之間形成的特殊關系，挖掘幾何圖形的性質，進而利用直角三角形的勾股定理、銳角三角函數進行計算，或運用三角形的全等、相似構造方程求解.

例2（2014.攀枝花）如圖2，以點P（-l，0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點（B在C的左側），交y軸于A、D兩點（A在D的下方），A D=2、/3，將△ABC繞點P旋轉1800，得到△MCB.

（1）求B、C兩點的坐標.

（2）請在圖中畫出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀（并說明理由），求出點M的坐標.

（3）動直線l從與BM重合的位置開始繞點B順時針旋轉，到與BC重合時停止，設直線2與CM的交點為E，點Q為BE的中點，過點E作EG⊥ BC于G，連接MQ、QC.在旋轉過程中∠MQG的大小是否變化？若不變，求出∠MQG的度數：若變化，請說明理由.

反思：本題是將人教版九年級數學教材第24章“圓”復習題第122頁第1題垂徑定理的基本圖形與第80頁的例題1巧妙融合在一起，然后放到平面直角坐標系中，并通過給出圓心的坐標與弦長，改編成探究直徑端點的坐標及中心對稱圖形頂點的坐標.第（3）問則是命題專家為考查同學們在運動變化的過程中探究問題的思維能力而利用直線旋轉設計的一個角度“變與不變”的問題.

本題考查了垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、矩形的判定與性質、圓周角定理、特殊角的銳角三角函數、圖形的旋轉等知識點，其中滲透了中心對稱的思想，證明四點共圓的方法.

解決本題的關鍵是能在較復雜的圖形中識圖，發現解決問題所需要的基本圖形，如本題第（1）問垂徑定理的基本圖形及由圓心到弦的垂線段、半弦、圓的半徑組成的Rt△POA.

第（3）問探究∠MQG的大小是否變化，是本題的難點，難在直線l旋轉導致∠MQG的頂點的位置始終在變化，干擾了同學們的解題視線，為突破這一難點我們應抓住變化中的不變量——兩個直角三角形且有公共的斜邊BE，從而利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”獲得點E、M、B、G到點Q的距離相等，進而發現圓心角∠MQC與圓周角∠MBG的關系，為定值的發現掃清了障礙.

三、方程、不等式與幾何的綜合問題

以幾何圖形為背景融人點的運動與圖形變換的一類問題，巧妙把代數中的方程與不等式“鑲嵌”其中構成了中考壓軸題的另一道風景線.解決此類問題要學會辯證看待“運動”與“靜止”的相互關系，利用運動過程中某一瞬間靜止的位置，動中窺靜，以靜制動，抓住圖形的特殊位置，明晰圖形之間的內在聯系.當探究有關圖形中變量之間的關系時，可建立函數模型或不等式模型求解；當探究特殊位置關系或數值時，可建立方程模型求解.其中直角三角形的勾股定理、相似三角形中的比例線段、等腰三角形、特殊四邊形的邊之間的相等關系都為我們構建方程提供了有效的等量關系.

例3 （2013.蘇州）如圖6，點0為矩形ABCD的對稱中心，AB=10 cm，BC=12 cm，點E.F、G分別從A、B、C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為l cm/s，點F的運動速度為3 cm/s，點G的運動速度為1.5 cm/s，當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動.在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB’F設點E.F、G運動的時間為t（單位：s）.

（1）當t=______ s時，四邊形EBFB’為正方形.

（2）若以點E、B、F為頂點的三角形與以點F.C.G為頂點的三角形相似，求t的值.

（3）是否存在實數t，使得點B'與點0重合？若存在，求出￡的值；若不存在，請說明理由.

反思：本題以矩形為載體設計了三個質點在三邊上運動的情形，其中滲透了軸對稱的思想、方程思想，融合了相似三角形的判定與性質、勾股定理、一元一次方程、一元二次方程的解法等知識點.第（1）問需要應試者實現從三角形到正方形的思維跨越，即只有等腰直角三角形沿斜邊翻折才能構成正方形，從而順利發現蘊涵的棚等關系.第（2）問由于給出的相似三角形的對應點頂點小確定，應分類求解，更應引起同學們注意的是動點運動的時問的取值范圍不可忽視，這也是解決這類問題對求的結果進行取舍的一個重要依據，否則將會導致錯誤的結果，第（3）問是探索存在型問題，解決這類問題一般先假設滿足條件的實數、圖形（點、線等）存在，然后結合題目提供的條件與圖形的性質，進行計算與推理，如果導出互相矛盾的結論，就可判定不存在，反之則成立.

四、函數與幾何的綜合問題

幾何圖形與函數巧妙地融合滲透的學科內綜合問題，把“形”與“數”達到了完美結合，被推向中考壓軸題的位置.

這種題型命制方向有兩個：

其一，兇為幾何圖形中一些量可以度量，線段的長度之問、線段與圖形的周長或面積的大小之間隱含著內在的對應變化關系，這個關系可用函數的解析式來表示.解決此類問題的關鍵是能夠洞察圖形特有的結構特征，充分挖掘幾何圖形所具有的性質，列出包含兩個變量的相等關系式，再變形為相應的一次函數、二次函數及反比例函數，進而利用函數的性質求得問題的答案.

其二，幾何圖形常以函數圖象間的交點、圖象與橫、縱坐標軸的交點、原點為頂點所構成，隱蔽性、迷惑性較強，但其幾何圖形所反映出的性質卻對解決問題具有至關重要的作用，解決此類問題我們要學會識圖適當添線使隱含的特殊三角形、四邊形、圓等撥“云”見“日”，充分發揮兒何的直觀作用，利用數形結合思想溝通函數與圖形的性質，并輔助于方程思想，準確計算與推理、分析判斷與取舍，進而達到問題的最終獲解.

例4 （2014.綿陽）如圖8，矩形ABCD中，AB=4，∠AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點B落在點E處，AE

反思：本題來源于人教版數學八年級上冊第3章《軸對稱》“等腰三角形”一節第79頁的一道練習題及人教版九年級數學下冊第27章《相似》“復習鞏固”第58頁“拓廣探索”的第11題，同時將課本中銳角三角形變為直角三角形，將內接正方形拓展為內接矩形，巧妙地將兩道習題拓展后的圖形融合到一個矩形的折疊的情境中，改編成探究內接矩形面積的最值問題，

本題從紙片折疊的角度考查了軸對稱，三角形全等的性質與判定，等腰三角形的判定，勾股定理、相似三角形的判定與性質及二次函數最值問題，解決問題的過程中滲透了方程思想、配方法、數形結合思想等，本題難點是圖形復雜，嚴重干擾同學們由圖形聯想性質進行探究的思路，所以突破的關鍵是平時對所研究的一些重要的基本圖形的結構與性質應爛熟于心，這樣才能從較復雜的圖形中分離出解決問題的基本圖形，并利用其性質快速地獲得問題的答案，本題求高EG時運用了“從不同視角求解同一個三角形的面積，利用面積的不變性列出方程”，這是常用的一種解題策略.本題的易錯點是運用PE的長表示線段PN的長時，不能準確地利用“相似三角形對應高的比等于相似比”得出（），從而導致計

算失誤.