第12講 “開放探索型問題”復習精講

田紹坤 馮金芳

專題精講

“探索”型試題一般是指命題中缺少一定的題設條件或未給出明確的結論，需要經過推斷、補充并加以證明的命題，由此，“探索”型的試題不像傳統的解答題或證明題那樣，在條件和結論給出的情境中只需進行由因導果或由果導因的求解，從而定格于“條件——推理——結論”這樣一個封閉的求解模式之中，而是要我們靈活運用所學知識，依據題設條件大膽地猜想、分析、比較、歸納、推理，或由條件去探索不明確的結論；或由結論去探索未給出的條件；或去探索存在的各種可能性以及發現所形成的客觀規律.探索型問題由于它的題型新穎、涉及面廣、綜合性強，不僅能考查學生的數學基礎知識，而且能考查學生的創新意識以及發現問題、提出問題、分析問題并解決問題的能力，因而備受關注，越來越成為熱點和亮點考題.

主要特點：開放型試題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結果的多樣性，它是開放題的目標：思維的多向性，它是開放題的實質；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑：知識的綜合性，它是開放題的深化.

基本類型：規律探索型、條件開放型、結論開放型、條件與結論都開放型、解題策略的開放、探索存在型等.

重點題型例析

一。規律探索型

規律探索型試題就是在一定的條件狀態下，要求我們去探索發現有關數學對象所具有的規律性的題目.

例1 （2014.婁底）如圖1是一組有規律的圖案，第1個圖案由4個▲組成，第2個圖案由7個▲組成，第3個圖案由10個▲組成，第4個圖案由13個▲組成，…，則第n（n，為正整數）個圖案由____個▲組成.

分析：仔細觀察圖形，結合圖案每條“邊”上的▲的個數與圖形的序列數之間的關系發現圖形的變化規律，利用發現的規律求解即可.

解：觀察發現：第一個圖形有（3x2-3+1）=4（個）▲，第二個圖形有（3x3-3+1）=7（個）▲，第三個圖形有（3x4-3+1） =10（個）▲，…，第n個圖形有[3（n，+l）-3+1] =3n+1（個）▲.故答案為3 n，+l.

反思：對于找規律的題目應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，圖形的變化過程中往往蘊涵著數字變化，所以本題既可從圖形的變化過程中尋找規律，也可從圖形數字變化過程中尋找規律.

二、條件探索型

條件開放探索題是指結論給定，條件未知或不全，或滿足結論的條件不唯一，需探求與結論相對應的條件.解答這類問題的一般思路是：由已知的結論反思題目應具備怎樣的條件，即從題目的結論出發，逆向追索，逐步探求.

例2 （2014.巴中）如圖2，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F，連接BE，CF

（1）請你添加一個條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是____，并證明.

（2）在問題（1）中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形？請說明理由.

分析（1）根據全等三角形的判定方法，可得出當

三、結論探索型

給出問題的條件，讓解題者根據條件探索相應的結論，并且符合條件的結論往往呈現多樣性.要求解題者充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發現規律，得出結論，這類題主要考查解題者的發散性思維和所學基礎知識的應用能力.解決此類問題的一般思路是：從剖析題意人手，充分捕捉題設信息，通過由因導果，順向推理或聯想類比、猜測等得到結論.

例3 （2014.淄博）如圖3，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點F，M分別是AB.BC懿中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB=A C=BD.連接MF ，NF.

（1）判斷△BMN的形狀，并證明你的結論.

（2）判斷△MFN與△BDC之間的關系，并說明理由.

分析：（1）根據等腰三角形的性質，可得AM是高線、頂角的平分線，根據直角三角形的性質，可得∠EA B+∠EBA =90。，根據三角形外角的性質，可得答案.（2）根據i角形中位線的性質，可得MF與AC的關系：根據等量代換，可得MF與BD的關系；根據等腰直角三角形，可得BM與NM的關系；根據等量代換，可得NM與BC的關系；根據同角的余角相等，可得∠CBD與∠NMF的關系；根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案.

解：（1）△BMN是等腰直角三角形，

證明：因AB=AC，點M是BC的中點，故AM⊥BC，AM平分∠BAC.

因AC⊥BD.故∠AEB=90。.

反思：此題考查了用待定系數法求反比例函數解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵，

綜上所述，由于“探索”型試題的題型新穎、綜合性強、結構獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：一是利用特殊值，如特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規律；二是假設結論成立，根據假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致；三是分類討論法，當命題的題設和結論不唯一確定，難以統一解答時，則需要按可能出現的情況做到既不重復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結論綜合歸納得出正確結果；四是類比猜想法，即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法，并加以嚴密論證.總之，在具體操作時，應更注重數學思想方法的綜合運用.