解讀特殊背景中三角函數的求法

張家譜

三角函數揭示的是直角三角形中邊與角之間的關系，換句話說，研究三角函數必須把邊、角放到直角三角形中，下面略舉幾例解讀如何在特殊背景中構造直角三角形求三角函數值.

一、 以網格為背景

1. 正方形網格中，∠AOB如圖1放置，則cos∠AOB的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】圖形中有直角三角形嗎？能將∠AOB放到直角三角形中嗎？利用網格容易構造出Rt△ACO，如圖2設網格的長度為單位1，則可求出OC=AC=，即cos∠AOB=，故選D.

聰明的你還有其他的構造方法嗎？

二、 以平面直角坐標系為背景

2. （2007·甘肅）如圖3，P是∠α的邊OA上一點，且點P的坐標為（3，4），則sinα=（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】過點P作PB⊥x軸于點B，∠α在Rt△OBP中，根據坐標的含義可知，PB=4，OB=3，求出斜邊OP=5，即sinα=，故選B.

三、 以圓為背景

3. （2007·山東煙臺）如圖4，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點P，若∠DPB=α，那么等于（ ）.

A. sinα B. cosα C. tanα D.

【分析】題中所求的是兩條線段的比值，選項中給出的卻都與三角函數有關，自然想到將∠α放到直角三角形中，結合題中的背景——圓，連接BD后，構造∠ADB=90°，利用相似三角形對應邊成比例，得=，在Rt△PDB中，cosα=，故選B.

四、 綜合型

4. 如圖5，∠1的正切值等于______.

【分析】圖中的背景比較多，是前三種類型的綜合. 仔細觀察圖形發現：∠1是圓周角，根據“同弧所對的圓周角相等”可得∠1=∠A，而∠A可以放到Rt△ACB中，由網格可知BC=1，AC=3，故tan∠1=.

【總結】無論以何種背景呈現，都要充分挖掘特殊圖形中隱藏的信息，將角、邊放在直角三角形中來處理.

小試身手

1. （2007·江蘇揚州）正方形網格中，∠AOB如圖6放置，則cos∠AOB的值為（ ）.

A. B.

C. D. 2

2. 如圖7，點E（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BE是⊙A的一條弦，則tan∠OBE=______.

（作者單位：江蘇省泗洪縣第一實驗學校）