既見樹木又見森林

錢惠峰

“統計和概率的簡單應用”是蘇科版初中數學的收官之作，它對整個初中階段的統計和概率知識起著統領的作用. 我們知道：概率研究隨機現象的規律性，統計則研究如何合理收集、整理、分析數據，并從數據中獲取信息，它們都可以為人們決策提供依據和建議，而其中蘊含的統計思想和概率觀點更是其靈魂. 在本章，我們學習了以下6小節內容：中學生的視力情況調查、貨比三家、統計分析幫你做預測、抽簽方法合理嗎、概率幫你做估計、收取多少保險費才合理. 不過，在學習時應認識到：掌握了簡單應用，只是見到了樹木；體悟其中的思想與方法，才是真正地見到森林.

下面讓我們一起對本章的核心概念作一些解讀.

一、 統計的簡單應用

統計的基本特征之一是通過部分的數據來推出全體數據的性質，所以利用抽樣思想方法，通過樣本觀測總體是統計應用的核心內容.

1. 用樣本估計總體

（1） 樣本的代表性

抽樣調查是根據隨機的原則從總體中抽取部分實際數據進行調查，根據樣本數據推算總體相應的數量指標的一種統計分析方法. 抽樣調查時要用合適的抽樣方法獲取可靠、有效的統計數據，這樣才能使估計、推斷更加準確，所以抽樣時要注意樣本的代表性. 在抽取樣本時，選擇的個體要有典型性、普遍性，大體上能夠代表整體，并且樣本容量適當. 有代表性的樣本能最大程度地估計出總體的相應特性.

例1 為了了解全校學生的視力情況，小明、小華、小李三個同學分別設計了三個方案.

①小明：檢查全班每個同學的視力，以此推算出全校學生的視力情況.

②小華：在校醫室找到去年全校的體檢表，由此了解全校學生視力情況.

③小李：抽取全校學號為5的倍數的同學，檢查視力，從而估計全校學生視力情況.

以上的調查方案最合適的是______.（填寫序號）

【分析】小明以自己班同學的視力推算全校學生的視力，具有片面性；小華的調查是全面調查，并且已經失去了時效性；小李抽取的個體具有普遍性，并且容量恰當，因而抽取的樣本具有代表性. 故填③.

（2） 簡單隨機抽樣

簡單隨機抽樣是最基本的抽樣方法. 一般地，從一個含N個個體的總體中抽取容量為n的樣本（n

簡單隨機抽樣的特點是：每個樣本單位被抽中的概率相等，樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯性和排斥性.

除了簡單隨機抽樣，抽樣調查的其他方法還有系統抽樣、分層抽樣等，而簡單隨機抽樣是其他抽樣方法的基礎.

例2 為了解全校學生的視力情況，采用了下列調查方法，其中為簡單隨機抽樣的是（ ）.

A. 從九年級每個班級中任意抽取10人作調查

B. 查閱全校所有學生的體檢表

C. 對每個班學號為1，11，21，31，41的學生作調查

D. 從每個班中任意抽取5人作調查

【分析】A. 忽略了七年級、八年級的存在；B. 是全面調查；C. 是分層抽樣；D. 每個人都有被抽到的可能性，是簡單隨機抽樣，故選D.

（3） 用樣本估計總體

從實際問題的需求出發，在科學、合理地獲取樣本后，其落點是用樣本估計總體的思想去解決實際問題，從而明晰樣本和總體之間的關系，理解抽樣思想.

用樣本估計總體有兩個特征：一方面，樣本的抽取具有隨機性，樣本所提供的信息在一定程度上反映了總體的有關特征，但與總體可能有一定偏差；另一方面，如果抽樣的方法比較合理，樣本的信息可以比較好地反映總體的信息，從而為人們合理地決策提供依據.

例3 九（1）班同學為了解某小區家庭月均用水情況，隨機調查了該小區部分家庭，并將調查數據整理如下表：

若該小區有800戶家庭，據此估計該小區月均用水量不超過10 m3的家庭約有______戶.

【分析】先看樣本的特性：月均用水量不超過10 m3的家庭的百分比為=70%，利用樣本估計總體的思想，估計該小區月均用水量不超過10 m3的家庭約有70%×800=560（戶）.

2. 科學、全面分析數據

從生活中收集、描述、分析數據后，我們要學會利用數據對生活中的事件進行決策. “貨比三家”其實就是要求我們科學、全面分析數據，或者說，正確的統計推斷，要通過全面分析數據，才能從中提煉出準確、有價值的信息.

例4 小張根據某媒體上報道的一張條形統計圖（如圖），在隨筆中寫道：“……今年在我市的中學生藝術節上，參加合唱比賽的人數比去年激增……”小張說的對不對？為什么？請你用一句話對小張的說法作一個評價：_____________________

___________________________________.

【分析】小張由這張不規范的條形統計圖得出了錯誤的信息，實際上，我們需要從整體的角度來把握圖形，不能只看圖像的高低，要比較兩年參加比賽人數的多少，還要看縱坐標的差距大不大. 因此小張說得不對，一句話評價是：光看圖像得出了錯誤的信息，事實上，兩年參加比賽人數的差距不是很大.

例5 現代樹苗培育示范園要對A、B、C、D四個品種共800株松樹幼苗進行成活實驗，從中選出成活率高的品種進行推廣，通過實驗得知，B種松樹幼苗成活率為90%，將實驗數據繪制成兩幅統計圖，如圖1與圖2所示（部分信息未給出）.

（1） 實驗所用的C種松樹幼苗的數量為______；

（2） 試求出B種松樹的成活數，并把圖2的統計圖補充完整；

（3） 你認為應選哪一種品種進行推廣？并請說明理由.

【分析】（1） 800×（1-25%-35%-20%）=160（株）；

（2） B種松樹幼苗數量為800×20%=160株，B種松樹的成活數160×90%=144（株），補全統計圖如圖3所示；

（3） A種松樹幼苗的成活率為×100%=85%，B種松樹幼苗的成活率為90%，C種松樹幼苗的成活率為×100%=92.5%，D種松樹幼苗的成活率為×100%=95%，所以應選擇D種松樹品種進行推廣.

在上面的問題中，選擇哪一種品種進行推廣不能僅看各品種的成活株數，而應結合各種幼苗的數量，計算出相應的成活率，由此得到選擇哪一種品種進行推廣.

3. 統計分析做預測

統計強調經歷數據的收集、整理、描述、分析，以及根據統計結果進行判斷、預測和決策等活動，針對具體的實際問題，要注意從數據中盡可能多地獲取信息，逐步培養對數據的直觀感覺，形成科學的數據分析觀念和較強的問題解決能力.

例6 “五一”勞動節，某超市開展“有獎促銷”活動，凡購物不少于30元的顧客均有一次轉動轉盤的機會，如圖4，轉盤被分為8個全等的小扇形，指針指向8就中一等獎，指向2或5就中二等獎，指向其余數字不中獎. 經統計，當天發放一、二等獎獎品共300份，那么據此估計參與此次活動的顧客為______人次.

【分析】易知轉盤被分為8個全等的小扇形，故帶有數字8、2、5的扇形占總面積的.

∵當天發放一、二等獎的獎品共300份，∴參與此活動的顧客為300÷=800人.

二、 概率的簡單應用

1. 抽簽不分先后

人們常常要采用抽簽的方法來決定某種方案. 例如，乒乓球比賽以擲硬幣來決定哪個運動員先發球；若干人進行的比賽，以抽簽的方式決定比賽的先后次序等. 那么，先抽后抽的中簽機會是不是相等呢？我們可以從概率分析入手，得出“抽簽不分先后”的基本特征.

例7 小明與甲、乙兩人一起玩“手心手背”的游戲. 他們約定：如果三人中僅有一人出“手心”或“手背”，則這個人獲勝；如果三人都出“手心”或“手背”，則不分勝負.

（1） 在第一個回合中，如果小明預先想好出“手心”，則他獲勝的概率是多少？

（2） 在第二個回合中，如果小明預先想好出“手背”，則他獲勝的概率是多少？

（3） 在第三個回合中，如果小明沒有預先想好出什么，只是隨機出“手心”或“手背”，則他獲勝的概率是多少？

【分析】（1） 畫樹狀圖得：

∵共有4種等可能的結果，在一個回合中，如果小明出“手心”，則他獲勝有1種情況，∴他獲勝的概率是.

（2） 畫樹狀圖同（1），

∵共有4種等可能的結果，在一個回合中，如果小明出“手背”，則他獲勝有1種情況，∴他獲勝的概率是.

（3） 畫樹狀圖得：

∵共有8種等可能的結果，在一個回合中，如果小明隨機出“手心”或“手背”，則他獲勝有2種情況，∴他獲勝的概率是=.

由上面的問題可見，小明獲勝的概率與是否預先想好“手心”或“手背”無關，這其實與“抽簽不分先后”的本質是一樣的.

2. 頻率估計概率

隨機現象表面看無規律可循，出現哪一個結果事先無法預料，但當我們大量重復實驗時，實驗的結果都會呈現出其頻率的穩定性. 用頻率估計概率是用樣本估計總體的一個重要方面.

例8 為了研究某自然保護區的生態環境，科學家在該地區做了如下實驗，在該地區第一次捕捉了100只雀鳥，然后作上記號放回該地區，經過一段時間后，再從該地區捕捉了同樣的雀鳥100只，發現其中帶有標記的雀鳥有10只，根據實驗數據可估計該地區這種雀鳥的數量有______.

【分析】設估計該地區這種雀鳥的數量有n只. 在抽取的樣本中，帶有標記的雀鳥所占的百分比為，而在總體中，共有100只雀鳥作了標記，于是=，得n=1 000.

3. 概率估計作決策

隨機思想是概率思想的核心. 隨機事件的發生雖然是不確定的，但發生的次數與其發生的概率是有聯系的.

一般地，如果隨機事件A發生的概率是P（A），那么在相同條件下重復n次試驗，事件A發生的次數的平均值為n×P（A）.

比如，交通部門可以運用統計方法估計出一輛汽車在一年內出交通事故的概率，而保險公司則通過對出險概率、賠付金額等因素的分析，來推算出收取多少保險費.

例9 假設一個小城鎮過去10年中，發生火災情況如表所示.

試問：（1） 估計平均每年在1 000家中被燒幾家？

（2） 如果保戶投保30萬元的火災保險，最低限度要交多少保險費，保險公司才不虧本？

【分析】（1） 被燒家數為1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11（家），總家數為365+371+385+395+412+418+430+435+440+445=4 096（家）.

≈0.002 7，1 000×0.002 7=2.7（家）.

答：（1） 每年在1 000家中，大約被燒2.7家.

（2） 設每戶交x元保險費給保險公司，則n家保戶共收取保險費nx元，保險公司平均賠償300 000×0.002 7n元.

則nx≥300 000×0.002 7n，解得x≥810（元）.

答：保戶投保30萬元的保險，至少需交810元的保險費.

例10 某商場為了吸引顧客，設立了可以自由轉動的轉盤（如圖5，轉盤被均勻分為20份），并規定：顧客每購買200元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的機會. 如果轉盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區域，那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券，憑購物券可以在該商場繼續購物. 如果顧客不愿意轉轉盤，那么可以直接獲得購物券30元.

（1） 求轉動一次轉盤獲得購物券的概率；

（2） 轉轉盤和直接獲得購物券，你認為哪種方式對顧客更合算？

【分析】（1） ∵轉盤被均勻分為20份，轉動一次轉盤獲得購物券的有10種情況，

∴P（轉動一次轉盤獲得購物券）==.

（2） ∵P（紅色）=，P（黃色）=，P（綠色）==，

∴轉動一次轉盤平均獲得購物券的金額為200×+100×+50×=40（元）.

∵40元>30元，

∴選擇轉轉盤對顧客更合算.

上面的問題中，若選擇轉轉盤，由于隨機性，每次試驗的結果都是不確定的，可能什么都得不到，但還有可能得到200元、100元或50元購物券. 隨著試驗次數的增加，平均收益將穩定于40元. 換句話說，如果有大量人來選擇，選擇轉轉盤的人的平均收益要比直接獲得30元購物券的人的平均收益高. 因此，我們選擇轉轉盤的決策是有意義的.

（作者單位：江蘇省無錫市蕩口中學）