談《分式》的學習

余娜

摘 要： 本文就基于MPCK視角下《分式》的學習給予詳細闡述，以舒爾曼提出PCK三種核心要素框架，分析“分式概念、分式有意義、無意義、分式的值為零的學習”，并以此說明數學教師所應具備的MPCK。

關鍵詞： 分式 PCK 有意義 無意義

PCK是學科教學知識（Pedagogical Content Knowledge）的簡稱，最早是由美國舒爾曼（Schulman，L.S）教授于1986年提出的。他認為這種知識是學科知識在教學應用中的轉換形式，是特定的內容與教學法的整合或轉換，是教師獨特的知識領域，是他們專業理解的特殊形式。具體來說，就是“對于一個人的學科領域中最一般的要教授的內容，表達那些概念的最有用的形式，最有效的比喻、說明、例子、解釋以及演示——一句話，就是使人易于懂得該學科內容的表達和闡述方式”，它還包括“知道不同年齡和背景的學生在學習那些最經常教授的課題時已具有的一些日常概念和先入之見，這些日常概念和先入之見會使具體內容的學習變得容易或困難。”[1] 根據舒爾曼的觀點，PCK是一種實用性知識，它的核心要素有：一是直面學生教學如何構架和呈現學科內容知識；二是有關學生在學習具體內容時可能擁有的共同的概念、誤解和困難的知識；三是在具體教學情況下能滿足學生學習需求的具體教學策略等。若結合數學學科探討PCK，即為MPCK（Mathematical Pedagogical Content Knowledge），我們稱之為“數學教學內容知識”。下面以舒爾曼提出PCK三種核心要素框架，分析“分式的學習”，并以此說明數學教師所應具備的MPCK。

一、 直面學生教學如何構架和呈現學科內容的知識

課堂教學第一部分：提出問題，創設情境。

（1） A教師的教學設計

同學們，只要你留下觀察，你會發現生活中處處都有數學。前段時間老師和大家一起去溱湖濕地公園參加社會實踐活動，在這個過程中要利用數學知識解決哪些問題呢？

第一步：坐車去溱湖濕地公園

正衡中學與溱湖公園的距離為138公里，汽車平均速度為75千米/小時，約多少小時可以到達？

思考：若正衡中學與溱湖公園的距離為a公里，汽車平均速度為b千米/小時，約多少小時可以到達？

第二步：買溱湖公園門票

門票價格：學生票：60元，成人票：80元；我們有a位同學，b位老師，買門票共需多少錢？平均每張門票多少錢？

第三步：參觀

某小組租用了一艘小船在湖上游玩，若一艘小船1小時的租金是100元，該小組有x人，平均每人花多少錢？

在溱湖公園里，大家買了些紀念品，總共花了m元，平均每人花了多少錢？

從表面上看，兩位老師都是讓學生從生活中實際問題中列出代數式，并觀察代數式的特征，從而歸納分式的概念。相比而言，A教師從學生經歷過的實際問題出發，讓學生在情感上容易產生共鳴，更能讓學生盡快進入學習主題。由于學生對制衣廠并沒有切身的體會，因此B教師的這個引入稍顯突兀，不能很好地激發學生的學習興趣。

課堂教學第二部分：新課——類比分數得到分式的概念。

A教師和B教師都是讓學生觀察列出的代數式的共同特，類比分數的概念，對比整式的概念，從而歸納出分式的概念。

（1）學生都能說出，上述代數式共同特征有：類似與分數的形式，分子分母都是整式，分母中含有字母。

（2）對比整式：整式的分母中不含字母，分式的分母中含有字母。

思考：a的值可以任意取嗎？

學生類比分數：由于零不能做除數，因此分式和分數一樣，分母都不能為零。

B教師的例題是：例題2：下列分式何時無意義、有意義？

兩位老師的選題都是為了告訴學生分式的分母不能為零，否則就無意義。但A老師從求分式的值的提問中，讓學生通過思考，類比分數中分母不為零，得出若分式的分母為零，分式無意義，分式的分母不為零，分式有意義。B教師是直接提出分式有意義、無意義，這樣就不能很好地體現類比的數學思想。

二、有關學生在學習具體內容時可能擁有的共同的概念、誤解和困難的知識

學生已有的共同的概念：

（1）分數、整式的概念。

（2）用字母表示數，會把除號改成分數線的形式。

三、在具體教學情況下能滿足學生學習需求的具體教學策略

1.在學習中學生通過自主探究、小組合作獲得了成功，此時，學生內心充滿了喜悅，急切地想與大家分享。此時教師要給時間、給機會讓學生回答。這也是學生小結、反思的一個過程。同時，通過這個過程，學生的表達能力、數學語言的組織能力得到了很好的鍛煉，自信心也得到了很好的培養。

2.在教學過程中要把數學思想方法滲透給學生。本節課主要運用了對比和類比的數學思想方法。要引導學生在學習一個新的概念前，要類比于前面所學過的知識，比如分式和分數。在學習一個新的概念后，要對比于和該知識點相關的知識，比如整式和分式，這樣學生對分式概念的把握會更清晰。

自2005年以來，PCK日益成為我國教學研究和教師教育研究的熱點問題。希望更多的教師在平時的教學中多動腦、多思考，增強自己的PCK，讓教師的教學和學生的學習充滿樂趣。

參考文獻：

[1]楊小麗.勾股定理的PCK內涵解析.初中數學教與學，2011（6）.

[2]田軍.新手與專家數學教師教學內容知識的對比研究.中學數學雜志，2009（10）.

[3]劉璇燕.國內關于學科教學知識（PCK）的研究綜述及其對師資培訓的啟示.中學數學雜志，2010（12）.