基于同構的觀點看復數與矩陣

陳俊斌

同構是數學中一個重要的概念，若兩代數系統同構，則其上的對象會有相同的屬性和性質，對某個系統成立的命題在另一個系統上也就成立.因此，如果在某個數學領域發現了一個對象結構同構于某個結構，且對于該系統已經得到許多結論，那么這些結論就可以應用到另一領域.

高中數學新課程選修系列中增加了“矩陣與變換”的內容，本文將證明復數系統與某類矩陣系統同構，從而可以從矩陣與變換的觀點看復數，另外，把矩陣與變換的問題轉換成學生熟悉的復數問題，再從復數的某些運算性質猜測相應的矩陣與行列式運算性質，還可從復數的分類看該類矩陣結構中矩陣的分類，旨在提供矩陣方面與復數的一種視角，同時也能加強這兩部分知識間的聯系.

1.3兩代數系統同構

2.從矩陣與變換的觀點看復數

高中數學新課程選修系列中矩陣與變換知識的出現，使相關知識逐漸為人們所熟悉.而在復數的教學實踐中，虛數單位的理解是個難點，因此，從矩陣也變換的觀點看復數，既能加強這兩部分知識的聯系，又能加深學生對虛數單位數學本質的理解.

4.共軛復數運算與矩陣行列式運算

合情推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程.在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用，有利于創新意識的培養.由于矩陣與復數系統的同構，使得它們具體相似的性質，因此可以采用類比的方法推測它們可能具有的性質.

5.從復數分類看部分矩陣的分類

對任一a+bi∈C■，根據a、b的不同取值情況，可將復數分為四大類：①零（a=0，b=0）；②非零實數（a≠0，b=0）；③純虛數（a=0，b≠0）；④非實數且非純虛數（a≠0，b≠0）.由對應法則（Ⅰ）有，上述四類復數分別對于矩陣0 00 0，a 00 a，0 -bb 0，a -bb a（a≠0，b≠0），亦即我們也可將C■中矩陣細分為上述四大類，而由矩陣知識我們可知四大類分別為零矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、“第四類矩陣”（a≠0，b≠0）（指C■中除前三類外的）.事實上，對任一方陣A，我們有A=B+C，其中B為對稱矩陣，C為反對稱矩陣，對應在C■中，即如下運算：a -ba a=a 00 a+0 -bb 0.應用對應法則（Ⅰ）則可得，任一復數（非實數的）復數可唯一地表示為一個實數與一個純虛數的和.

數學中看似兩個不相關的領域——復數和矩陣，經抽象概括后，可得到相同的數學理論，體現了數學的不同分支和不同內容之間的聯系.應用同構的觀點，讓學生感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力.