例談高中生物學中“表達式數學模型”的構建與分析

羅雪飛

摘 要 通過構建數學模型并進行分析與應用，有助于提高學生對圖表等數學形式的分析能力，促進學生知識的綜合與深化。

關鍵詞 模型構建 表達式數學模型 指數增長

中圖分類號 G633.91 文獻標識碼 B

表達式數學模型最典型的例子是浙科版必修三“種群的增長方式”中“指數增長”這一內容的模型教學。通過“種群的特征”一節的學習，學生知道出生率和死亡率直接決定種群個體數量大小，年齡結構（指各個年齡組個體數量在種群中所占的比例關系）預測未來種群個體數量，性別比率對種群個體數量有一定的影響，那么種群數量在怎樣的條件下會出現指數增長呢？

1 構建表達式

教師播放細菌分裂的錄像或演示細菌分裂的計算機模擬動畫，學生基于已有的數學知識進行演算。教師提示：在自然界中細菌無處不在，某些細菌的大量繁殖會導致疾病。假如現有一種細菌，在適宜的溫度、濕度等環境下，每20 min左右分裂繁殖一代。引導學生思考：細菌的繁殖方式是怎樣的？72 h后，由一個細菌分裂產生的后代數量是多少？n代后細菌數量是多少？

細菌的繁殖方式為二分裂。細菌每20 min分裂繁殖一代，72 h后將由1個細菌變成2216個，n代細菌數量為2n個。

以上種群是個例，其他生物種群的起始數量不一定是1，下一代也不一定是上一代的2倍，而且繁殖周期通常要長，那么，如何建構適用于更多種群的一般表達式？

教師給出任務：已知食物、空間充足，某種群的起始數量為N0，t為時間，Nt表示t年后該種群的數量。假設種群數量每年以一定的倍數增長，第二年是第一年的λ倍。你能建構出這個種群增長的數學表達式嗎？請試試看吧。

Nt=N0λt。

N0為起始數量，t為時間，Nt表示t年后人口的數量，λ為年均增長倍數。

2 表達式成立的條件

種群數量的增長受多種因素的影響。氣候是對種群影響最強烈的外源性因素，特別是極端的溫度和濕度。如連續幾天的38℃高溫常可以引起蚜蟲種群數量的急劇下降。食物不足時，種群內部會發生激烈斗爭，使很多個體不能存活或不能生殖。病原物和寄生物的致病力和傳播速度是隨著種群密度的增加而增加的。種群密度越大，移殖增長的作用也越強，對種群數量調節起著重要作用。動物的領域行為對種群密度也具有明顯的調節作用。嚙齒動物在種群密度過大時，會引起雌鼠排卵功能減退，容易流產，母鼠泌乳過程受到抑制，對仔鼠照顧不良、行為反常、好斗等。這些生理變化會使鼠的生殖力下降、死亡率增加和遷出率上升，因而導致種群數量迅速下降。種群數量增長要符合上述表達式模型，必須是在資源無限、空間無限和不受其他生物制約的理想條件下。

3 模型的分析

在上述理想條件下，種群會呈指數增長。指數增長的特點是：起始增長很慢，但隨著種群基數的加大，增長會越來越快，每單位時間都按種群的一定百分數或倍數增長，其增長勢頭強大。將表達式數學模型轉化為曲線型數學模型將有利于對模型的分析。

以橫坐標為時間，縱坐標為種群數量，指數增長曲線很像英文字母J，又稱“J”形增長曲線，如圖1所示。

種群增長速率=（現有個體數-原有個體數）/增長時間（有單位，如個/年）。

種群增長率=（現有個體數-原有個體數）/原有個體數×100（無單位）。

指數增長的種群增長速率、增長率分別如何變化？

以上述表達式為例：

Nt=N0λt

N0為起始數量，t為時間，Nt表示t年后人口的數量，λ為年均增長倍數。

種群年增長速率=Nt—Nt-1=N0λt-N0λt-1=N0λt-1（λ-1）

種群年增長率=（Nt—Nt-1）/Nt-1=（N0λt-N0λt-1）/ N0λt-1=（λ-1）

如果把以上表達式轉化成曲線圖，則可以更直觀地感受到種群指數增長的特點，如圖2所示。

4 模型的應用

生態學家研究發現，東方田鼠種群遷入初期種群數量很少，一個月內隨著水稻和蘆葦等作物種植面積的不斷擴大而迅速增長。為研究東方田鼠的種群數量的變化規律，生態學家構建了表達式數學模型：Nt=N0λt，該數學表達式成立的前提條件是什么？從環境容納量的角度思考，提出兩項控制東方田鼠數量的有效措施。

題中的情況應該屬于物種入侵，典型的J型增長曲線，那么相對應的假設就是東方田鼠生存的空間和食物是足夠的，且當地的氣候適宜，缺少天敵。第二問也就迎刃而解了。

高中生物學教材中，這種表達式數學模型涉及到的知識點有很多。脫氧核苷酸序列與遺傳信息的多樣性，堿基與氨基酸對應關系，調查人群中的遺傳病，用數學方法討論基因頻率的變化，探究自然選擇對種群基因頻率的影響等。教師把數學的思維引入到生物學科，不僅能讓學生感受到生物學科的嚴謹，也能讓學生感受到不同學科知識時間的交叉與融合。

不難想象，地球上哪怕有一種生物按指數增長無限增長下去，這種生物最終就會把其他生物從地球上排擠掉，同時自己也走向毀滅。即使在有限時間內實現指數增長也常常會造成種群“爆炸”或“害蟲猖獗”的毀滅性后果。