明概念 思解法

趙志勝

一元二次方程是對一元一次方程的拓展延伸，在學習時要善于挖掘二者之間的概念聯系和區別，在探究解法時要思考能否轉化即進行降次.類比一元一次方程學習一元二次方程在本章中有一定的體現.

一.一元二次方程的概念

方程中只含有一個未知數且未知數的最高次數是二次的整式方程是一元二次方程方程。它的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0 ），

期中ax2、bx、c分別叫二次項、一次項常數項，a、b分別叫二次項系數和一次項系數.

注：（1）類比一元一次方程根據定義可看出一元二次方程須同時滿足三個條件：①必須是整式方程即分母中不能含有未知數，這是前提 ②只含一個未知數即一元

③未知數的最高次數為二次.

（2）a≠0是一個重要條件，也是本章學習中特別容易忽視的的地方；因為若a=0那么二次項就不存在了，方程也自然就談不上是一元二次方程了，學習時要特別注意。

例1：已知關于x的一元二次方程：

是一元二次方程，求a的值.

【分析】根據定義只需要保證x的最高次數等于2，并且二次項前面的系數不為0即可.

【解答】由題意得：

解之得 所以a=9

【點評】這種類型的題目主要考查對定義的理解，在注意未知數最高次數為2的

同時，特別不能忽視二次項系數不能為0.

二.一元二次方程的解法

總體思路是“降次”，即將一元二次方程轉化為一元一次方程再去解，那么轉化的方法有哪些呢？如何選擇合適的方法呢？下面我們就來看看.

1.直接開平方法

形如（x+m）2=n（n≥0）的一元二次方程，基本上都采用直接開平方法求解.

例2：解方程：2（x-1）2—8=0

【分析】此題并不是直接開平方的一般形式，故第一步需要轉化，然后再求解.

【解答】移項得：2（x-1）2=8

系數化為1得：（x-1）2=4

解之得： =3 ， =-1

【點評】（1）直接開平方法的理論依據是平方根的定義；（2）它適用的方程形式主要是x2=a（a≥0）或ax2=b（ab≥0，a≠0）或

a（x+h）2=k（ak≥0，a≠0）

2﹑配方法

解題步驟：（1）二次項系數：化為1； （2）移項：把方程x2+bx+c=0的常數項c移到方程另一側，得方程X2+bx=-c； （3）配方：方程兩邊同加上一次項系數一半的平方，方程左邊成為完全平方式； （4）開方：方程兩邊同時開平方，目的是為了降次，得到一元一次方程； （5）得解：解一元一次方程，得出原方程的解.

例2：用配方法解方程：2x2-8x-9=0

【分析】觀察發現二次項系數不為1，依據步驟先將兩邊除以2，再按照配方的一般步驟求解.

【解答】二次項系數化為1得

x2-4x- =0；

移項得：x2-4x= ；

配方得：x2-4x+22= +4；

（x-2）2= ，

x-2= 或x-2=- ；

解得：x1=2+ ，x2=2-

【點評】特別注意的是：（1）配方法首先要將二次項系數化為1；（2）配方的關鍵是把方程左邊化為含未知數的完全平方式，右邊是一個非負數.

3﹑公式法

關于x的一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）當 時，方程的根是 ，這個公式就叫一元二次方程的求根公式。其中b2-4ac就叫根的判別式.

例3：用公式法解方程：2x2+5x=3

【分析】此方程不是一元二次方程的一般形式，所以要先移項化為一般式，從而確定a、b、c和b2-4ac的值，再代入公式求解.

【解答】移項得：2x2+5x-3=0

因為a=2，b=5，c=-3

所以b2-4ac=52-4×2×（-3）=49>0，

所以

=

=

所以 = ， =-3

【點評】（1）一元二次方程的解是由系數a、b、c決定的，所以要正確確定系數；（2）求根公式是在b2-4ac≥0時方程有解，如果b2-4ac<0時，則方程無實數解.

4、因式分解法

因式分解解一元二次方程的步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程兩邊分解為兩個一次因式的乘積；（3）令每個因式為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個方程進而求出一元二次方程的解.

例4：用因式分解法解方程：x（x-2）=x-2

【分析】先移項將右邊化為0，然后把（x-2）作為公因式提取出來，這樣得到兩個一次因式的乘積為0了.

【解答】解：移項得：x（x-2）-（x-2）=0

提公因式的：（x-2）（x-1）=0

所以： x-2=0 或 x-1=0

解得： x1=2 x2=1

【點評】解這類方程的關鍵是能準確提取公因式，切不可兩邊同除以公因式.

例5：用因式分解法解方程：

4（x-3）2 =25（x-2）2

【分析】先移項將方程右邊化為0，再用平方差公式即可達到因式分解的目的。

【解答】移項得：

4（x-3）2 -25（x-2）2=0

所以：﹝2（x-3））2–﹝5（x-2））2=0

變形得：﹝2（x-3）+ 5（x-2）﹞﹝2（x-3）- 5（x-2）﹞=0

整理得：（7x-16）（-3x+4）=0

解之得：x1= x2=

【點評】（1）因式分解的理論依據

是：ab=0，則a=0或b=0；（2）能否用

公式關鍵是熟記公式的同時并觀察是

否符合公式的特點。