“圓”中的實用結論與公式

薛飛

圓是最完美的平面圖形，在“對稱圖形——圓”這一章中我們學習了“等”對“等”定理、垂徑定理、圓周角定理，這些定理能夠幫助我們解決絕大部分問題，當然這一章中還有一些我們不知道但是非常實用的結論及公式.

1. 圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角.

如圖1，以BC為直徑的圓上有一點A（異于B，C兩點），那么∠BAC=90°.

由此猜想：如果點A在圓內（或圓外），那么∠BAC的大小又會怎樣呢？

①當點A在圓內時（如圖2）：

由此我們可以得出如下結論：

如果點A（異于B，C兩點）在以BC為直徑的圓上，則∠BAC=90°；

如果點A（不在線段BC上）在以BC為直徑的圓內，則∠BAC>90°；

如果點A（不在直線BC上）在以BC為直徑的圓外，則∠BAC<90°.

例1 如圖4，在平面直角坐標系中，以A（2，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于O，C兩點，過O點的直線l與圓交于B（2，2），問：

直線l上能否找到點D（m，m）使得∠ODC為鈍角，寫出m的取值范圍_____________.

【解析】根據上述結論，要使得∠ODC為鈍角，那么點D必須在圓A內部且在直線l上，即D點在O點和B點之間（不包括O，B兩點）.所以0

2. 圓中還有一些實用的公式

例2 如圖5，△ABC的周長為21，面積為42，求它的內切圓的半徑.

【解析】如圖6，連接OA，OB，OC，OE，OF，OG（通過這些輔助線，我們可以把原△ABC的面積分成△ABO，△BOC，△AOC三個三角形面積之和）.

設△ABC內切圓半徑為r，原△ABC的面積為S，周長為C.

答：內切圓半徑為4.

【點評】其實這種方法也可以推廣到任意三角形中，我們可以把它當作求一般三角形內切圓半徑的公式，即r=（其中S表示三角形面積，C表示三角形周長，r表示三角形的內切圓半徑）.

在求直角三角形內切圓半徑時我們往往還會利用下面的公式.

例3 如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求出Rt△ABC的內切圓半徑.

【解析】連接OE，OF，OG.

【點評】這種求內切圓半徑的方法我們可以推廣到任意直角三角形.如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的內切圓半徑 r=.

3. 圓不僅僅是問題的背景，也經常被用來作為解決問題的輔助工具.

例4 如圖9，四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB=AC=AD=5，BC=，求BD的長.

【解析】因為題中給出了AB=AC=AD，所以以點A為圓心，AB長為半徑構造圓A（如圖10），那么圓A一定經過B，C，D三點，延長BA交圓A于點E，連接ED，易得BC=DE.

【點評】這道題看似與圓無關，但是恰當地構造圓這個圖形加以輔助，就使得這個問題簡單化，從而快速地解決問題.

例5 如圖11，已知△ABC三個頂點都在格點上，求tan∠ACB的值.

【解析】如圖12在網格中利用三角形外接圓的知識確定△ABC的外接圓圓心O，由圓周角定理可知，弧AB所對的圓周角是圓心角的一半，即∠ACB=∠AOB=∠HOB，所以tan∠ACB=.

【點評】網格圖中求一個角的三角函數值我們有多種方法，可以構造直角三角形，也可以用面積法解決，這里我們介紹的是利用三角形外接圓的知識來轉移要求的∠ACB.

“對稱圖形——圓”是初中數學重要組成部分，也是我們解決一些問題的重要工具.以上我們總結了圓中一些比較實用的結論和三角形內切圓半徑的一些公式，同時我們也認識到了對待一些看似與圓無關的題目，有時候構造恰當的圓加以輔助，往往可以使問題簡單化，從而更快地解決問題.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）