數學思想引領成長

何夏花

我們知道，數學思想是數學知識的精髓，學習數據的集中趨勢和離散程度也離不開數學思想的運用.為了幫助同學們提高數學素養和思維能力，現將數據的集中趨勢和離散程度中蘊涵的數學思想剖析如下.

一、 方程思想

在本章的習題中，有很多是需要利用平均數、中位數、眾數的概念來構造方程解決問題的，這種利用方程來思考和解決問題的思想就是方程思想.

例1 一組數據按從小到大的順序排列為：2，4，8，x，10，14. 若這組數據的中位數為9，則這組數據的眾數是（ ）.

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

【解析】本題中的數據已從小到大排列，則根據中位數的意義，可構造一個關于x的方程：=9，解得x=10，故選D.

二、 整體思想

已知一組數據的平均數或方差，求與之相關的一組新數據的平均數或方差時，常常需要結合平均數或方差的定義，運用整體思想解決.

例2 如果數據x1、x2、x3的平均數是2，那么數據x1+1，x2+3，x3+5的平均數是_______.

【解析】因為x1、x2、x3的平均數是2，所以x1+x2+x3=6，要求數據x1+1，x2+3，x3+5的平均數，只要利用平均數的定義，整體代入求解.

∵x1、x2、x3的平均數是2，∴x1+x2+x3=6，根據平均數的計算公式，x1+1，x2+3，x3+5的平均數是（x1+1+x2+3+x3+5）=（x1+x2+x3+9）=（6+9）=5.

三、 數形結合思想

本章的知識背景中有不少涉及統計圖，從圖像中獲取相應的信息是本章的一個重要內容，體現了數形結合思想，

例3 某地區5月3日至5月9日這7天的日氣溫最高值統計圖如圖所示.從統計圖看，該地區這7天日氣溫最高值的眾數與中位數分別是（ ）.

A. 23，25 B. 24，23

C. 23，23 D. 23，24

【解析】先從統計圖中獲取準確數據，再根據眾數與中位數的概念進行求解.將從統計圖獲取的7天氣溫數值從小到大排列：21，23，23，23，25，25，27，其中出現次數最多的數據是23，即眾數是23，處于最中間的數是23，即中位數是23，故選C.

四、 分類討論思想

分類討論思想就是針對數學對象的共性與差異性，將其分為不同種類. 在本章中當數據的大小未知時，就應對某一數據分類討論從而確定排列順序，進而確定中位數等內容.

例4 已知一組數據5，7，7，x的中位數與平均數相等，求x的值及這組數據的中位數.

【解析】由題意可知這組數據的平均數為，題中共有4個數據，根據中位數的求法，需將這組數據按大小順序排列，而x的值未知，故需對x進行分類討論.

當x≥7時，原數據按從小到大的順序排列為：5，7，7，x，則中位數為.∵中位數與平均數相等，∴=，解得x=9.

當x≤5時，原數據按從小到大的順序排列為：x，5，7，7，其中位數為.∵中位數與平均數相等，∴=，解得x=5.

當5

綜上所述，當x=5時，中位數為6；當x=9時，中位數為7.

五、 用樣本估計總體的統計思想

用樣本平均數來估計總體平均數，用樣本方差來估計總體方差，這是數學中最常用的方法，也是統計學的核心.我們在學習時，要注意比較、分析，不同的樣本會對總體做出不同的估計，因此選擇合適的樣本來估計總體特征是解決此類問題的關鍵.

例5 水資源越來越缺乏，全球提倡節約用水，水廠為了了解某小區居民的用水情況，隨機抽查了該小區10戶家庭的月用水量，有關數據如下表：

如果該小區有800戶家庭，根據上面的統計結果，估計該小區居民每月需要用水多少立方米？

【解析】先根據樣本數據求出這10戶家庭的月平均用水量，用所得的平均數估計總體平均數，再乘該小區的總戶數來估計該小區居民每月需要用水量.

10戶家庭的月平均用水量為：

=14（立方米），由此估計該小區800戶家庭每月需要用水14×800=11 200（立方米）.

小試身手

1. 若一組數據1，1，2，3，x的平均數是3，則這組數據的眾數是________.

2. 若一組數據x1，x2，x3，x4，x5的方差是3，則數據2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是________.

3. 已知一組數據0，-1，x，1，2的極差是4，則x的值為________.

4. 在“大家跳起來”的鄉村學校舞蹈比賽中，某校10名學生參賽成績統計如圖所示.對于這10名學生的參賽成績，下列說法中錯誤的是（ ）.

A. 眾數是90 B. 中位數是90

C. 平均數是90 D. 極差是15

5. 某校開展“節約每一滴水”活動，為了了解活動一個月以來節約用水的情況，從八年級的400名同學中隨機選取20名同學統計了各自家庭一個月的節水情況（如下表）：

估計這400名同學的家庭一個月節約用水的總量大約是多少m3？

參考答案：

1. 1 2. 12 3. -2或3 4. C 5. 130 m3

（作者單位：江蘇省海門市悅來初級中學）