學好基礎知識正確選擇方法

劉玉

一元二次方程是初中數學“數與代數”領域中的基礎內容，它與生活聯系密切，是中考的重點之一。

一、一元二次方程的根

例1 （2014 荷澤）已知關于 的一元二次方程 有一個非零根 ，則 的值為（ ）

A.1 B. C.0 D.

【分析】 由于關于 的一元二次方程

有一個非零根 ，那么代入方程中即可得到 ，即

，因為 ，所以 .所以 =1.

【答案】：A

【點評】已知含參數的方程的根，往往根據方程根的定義直接代入方程，得到一個關于參數的新方程，從而確定參數值。

二、一元二次方程的解法

一元二次方程的基本解法有：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。我們既要理解一元二次方程解法中轉化的數學思想，如配方法體現了數學式子的轉化，公式法直接利用公式把方程中的“未知”轉化為“已知”，因式分解法通過“降次”把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，又要善于根據一元二次方程的特征，靈活運用各種解法并能選擇最佳解法。

例2 （2012 永州）解方程：

-9=0.

【分析】將原方程化為 ，

利用直接開平方法求解。

解：移項，得： ，

直接開平方得，得： ，

.

【點評】解這類問題要移項，把所含未知數的項移到等號的左邊，把常數項移到等號的右邊，化成 （k≥0）的形式，利用數的開方直接求解。用直接開平方法解方程可概括為“左平方，右常數，先把系數化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”.這里的x 可代表一個式子。

例3（2014 慶陽） 解方程：

.

【分析】本題二次項系數是1，先將常數項移到等號的右邊，再配方即可。

解：移項，得：

配方，得 ，

即

直接開平方得，得

【點評】當一元二次方程的二次項系數為1，一次項系數為偶數時，比較容易配方，所以常用配方法求它的根。配方法是對二次項和一次項配方，因此一般先將二次項系數化為1，再將常數項移到方程的另一邊，利用等式的性質，方程兩邊同時加上一次項系數的一半的平方。配方法解一元二次方程，實質上就是對一元二次方程變形，轉化成能直接開平方所需的形式。

例4（2013無錫）解方程：

【分析】此方程的二次項系數為1，一次項系不是二次項系數的偶數倍，用公式法較簡便。先確定公式中的 的值，并計算出 的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根。

解：

【點評】公式法是解一元二次方程的通法。在用公式法解一元二次方程時，一定先要將方程化為一般形式，再確定 的值；然后計算判別式的值，必須滿足 時，才能將 的值代入求根公式。如果 ，那么在實數范圍內原方程沒有實數根。當 時，必須把原方程的根寫成 的形式，表示有兩個相等的實數根。

例5（2014自貢）解方程：

.

【分析】此方程先通過移項轉化為方程右邊為0的形式，然后利用提取公因式法分解因式。

解：原方程可化為

=0.

即 ，

，

【點評】用因式分解法解一元二次方程是通過因式分解降次，把原方程轉化為兩個一元一次方程。此解法只適用于方程的一邊為0，另一邊能分解因式的一元二次方程。

【規律總結】解一元二次方程的關鍵是方法的選擇，一般按照先特殊后一般的程序選擇，考慮的順序是直接開平方法→因式分解法→公式法，配方法除特別要求使用此解法外一般不用。但配方法在學習其它數學知識時有廣泛的應用，是要求掌握的重要數學方法之一。

三、配方法的應用

例6 求證：無論 取何值，代數

的值都是正數。

【分析】判斷一個二次三項式的符號，一般采用配方法.二次三項式配方的關鍵步驟如下：①提取二次項系數使括號內的二次項系數為1；②在括號內加上一次項系數一半的平方，同時減去一次項系數一半的平方.

解：

=

= = .

無論 取何值，代數式

的值都是正數.

【點評】二次三項式的配方過程與用配方法解一元二次方程的過程既有聯系又有區別，希望同學們引起足夠的重視.通過對二次三項式的配方，還可以求出二次三項式的最大值或最小值.如由 可得 ，從而本題中代數式 + 的最小值為3.

（作者單位：南師大第二附屬初級中學）