例說一元二次方程中的數學思想方法

丁建生

數學思想方法是學習的重點，也是解題的關鍵.《一元二次方程》中蘊含著許多思想方法，現舉例說明.

一.轉化思想

轉化就是將復雜的、陌生的、未知的問題轉變為簡單的、熟悉的、已知的問題，使得問題順利解決.

例1. 已知關于x的方程x -3x+m=0的一個根是-1，求m及另一個根.

分析：-1是方程的根，由根的定義，-1就滿足了方程. 故將-1代入后，就轉化為關于m的一元一次方程.

解：∵-1是方程x -3x+m=0的根

∴（-1） -3（-1）+m=0 ∴m=-4

把m=-4代入方程得 x -3x-4=0 解此方程得 x=-1， 4 故另一根是4.

反思：用方程根的定義，問題就轉變成了m的方程；當求出m后，方程就具體化了，問題又轉變成了解一元二次方程。當然求另一根時，還可用根與系數關系-1+x =3， 此時問題就變成了解簡單的一元一次方程.事實上，數學學習中解決問題的過程就是不斷將問題轉化的過程.

二.分類討論

分類討論就是根據問題中的對象的差異，分別對各種不同的情況予以分析，從而將“大”問題分解為幾個“小”問題去解決.

例2.已知關于x的方程x -2（k-1）x+k =0有兩個實數根x 、x

（1）求k的取值范圍

（2）若︱x +x ︱=x x -1，求k的值

解析：（1）由題意得△≥0

即[-2（k-1）] -4k ≥0，解得k≤

（2）解法一 依題意 x +x =2（k-1）， x x =k

以下分兩種情況討論

①當x +x ≥0時，則有x +x = x x -1

即2（k-1）= k -1 解得k =k =1

∵ k≤ ∴k =k =1不合題意，舍去

②當x +x <0時則有-（x +x ）= x x -1

即 -2（k-1）= k -1 解得 k =1，k = -3

∵ k≤ ∴ k = -3

綜合 ①② 可得 k=-3

解法二： 依題意 x +x =2（k-1）

由（1）可知 k≤

∴2（k-1）<0 即x +x <0

∴ -2（k-1）= k -1

解得 k =1，k = -3

∵ k≤ ∴ k = -3

反思：本題（2）的解法一中為了去掉絕對值符號，需對絕對值號里面的式子的值的“+、-”進行討論。若對題目“已知方程

kx -（2k+1）x+k-1=0有實數根，求k的取值范圍”，則需對k=0或k≠0的兩種情況進行討論.

三.整體思想

整體思想就是指從問題整體性質出發，發現問題的整體結構特征，把某些式子或圖形看成整體，使問題得到有目的的整體處理.

例3.（1）已知a、b是方程x2-x-3=0的兩個根，則代數式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值是多少？

（2）若x1、x2是一元二次方程x2+2x-6=0的兩根，求x1 +x2 的值.

分析：如果直接求a、b或x1、x 的值，將其代入所求式子，則很繁瑣。若根據方程根的定義和根與系數的關系進行整體代入，就方便些.

解：（1）∵a、b是方程x2-x-3=0的兩個根，∴a -a-3=0 b -b-3=0

∴ a -a=3 b -b=3 及a =a+3

∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a·a +3a2-11a+

（b2 –b）+5=2a （a+3） +3a2-11a+3+5

=5（a -a）+8=23

（2） ∵ x1、x2是 x2+2x-6=0的兩根

∴x +x =-2 x x =-6

∴ x1 +x =（x +x ） -2x x

=（-2） -2·（-6）=4+12+16

反思：對問題（1）的條件也可改為x- =1，其本質是一樣的.但用它可迅速求出類似x + 等式子的值。對問題（2）我們可繼續x +x 等式子的值.

四.方程思想

方程思想就是從問題的數量關系入手，將問題中的條件轉化為方程問題，然后通過解方程（組）來使問題獲解.

例4.（1）若關于x的一元二次方程x2-6x-m=0有兩個相等實根，則m=

（2）已知關于x的一元二次方程x +（m-1）x-2m +m=0（m為實數）

有兩個實數根x 、x

①當m為何值時，x ≠x ②若x +x =2，求m的值.

解：（1）∵方程x2-6x- m=0有兩個相等實根 ∴△=（-6） +4m=0

∴m=-9

（2） ① 由 x ≠x ，得方程有兩個不等實根，所以△>0

∴ △=（m-1） -4（-2m +m）=（3m-1） >0

∴ m≠

② ∵x +x =-（m-1）. x x =-2m +m x +x =2

∴（x +x ） -2 x x

=[-（m-1）] -2（-2m +m）=2

即 5m -4m-1=0 ∴m = - m =1

反思：兩個等式△=0 ，x +x =2是建立方程的依據.所以，尋找并充分運用問題中的相等關系是方程思想的關鍵.

五.建模思想

數學建模就是構造數學模型的過程.是將實際問題抽象成數學問題，再繼續將其變為方程、函數、不等式等問題.

例5 某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次，第1檔次（最低檔次）的產品一天能生產95件，每件利潤6元. 每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產量減少5件.

（1）若生產第x檔次的產品一天的總利潤為y元（其中x為正整數，且1≤x≤10），求出y關于x的函數關系式.

（2）若生產第x檔次的產品一天的利潤為1120元，求該產品的質量檔次.

解析：（1）因為第1檔次的產品一天能生產95件，每件利潤6元.每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產量減少5件. 所以第x檔次時，實際提高了x-1檔，所以

y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]

即y=-10x +180x+400

（其中x是正整數，且1≤x≤10）

（2）由題意可得 -10x +180x+400=1120

整理得x -18x+72=0

所以 x =6 x =12（舍去）

反思：本題的背景是一個實際問題.在（1）中，根據條件，理清數量關系，建立了檔次x與利潤y間的函數模型；在（2）中，由利潤的具體數值，形成了等量關系，建立了方程模型.建立模型的關鍵就是分析問題、轉化問題，最終解決問題.

（作者單位：南師大第二附屬初級中學）