考慮全面 觸類旁通

陳俊

“分類討論”思想是數學研究的一種重要思想，常常要根據研究對象的性質差異，分別對各種不同的情況予以分析，培養同學們思維的條理性、縝密性和科學性.本文以一元二次方程為例，談談分類討論思想在解題中的運用.

一、 對“方程類型”的討論

例1 已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有實數根，求m的取值范圍.

【分析】當二次項m2x2的系數m2=0時，方程是一元一次方程，確有實數根；當m2≠0時，方程是一元二次方程，由題意得Δ≥0，最后將兩種情況的答案加以綜合.

解：（1） 當m2=0，即m=0時，方程為一元一次方程x+1=0，有實數根x=-1；

（2） 當m2≠0，即m≠0時，方程為一元二次方程，由題意得：

【點評】由于這里二次項系數為待定系數，所以不能從形式上認為這一定是一元二次方程，故要考慮是一元一次方程的可能.

變式題1 已知方程m2x2+3mx+1=0有實數根，求m的取值范圍.

二、 對“方程的根”的討論

例2 當整數m取何值時，關于x的一元二次方程mx2-4x+4=0與x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整數.

【分析】第一道方程是一元二次方程，則m≠0.“根是整數”包含兩層含義：①方程有根，即Δ≥0；②取得整數根.根據題意，先解出m的取值范圍，再得出m的整數值，從而驗證兩道方程是否都同時有整數根.

解：由題意得，m≠0.

∵方程均有實數根，

當m=-1時，方程mx2-4x+4=0為x2+4x-4=0，解得方程的根為x=-2±2，它的根不是整數，故m=-1舍去.

當m=1時，方程mx2-4x+4=0的根為x1=x2=2，方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的根為x1=5，x2=-1，均為整數，所以m=1.

【點評】本題是對方程的“特殊根”的討論.當m=±1時，只能說明兩道方程有實數根，還需進一步討論有整數根的情況.

例3 已知關于x的方程：x2-（m-2）x-=0.

（1） 求證：無論m取什么實數值，這個方程總有兩個相異實根.

（2） 若這個方程的兩個實數x1、x2滿足x2=x1+2，求m的值及相應的x1、x2.

【分析】（1） 根據方程根的判別式判斷根的情況，只要證明判別式Δ的值恒為正值即可；

（2） 根據根與系數的關系得到x1+x2=m-2，x1·x2=-≤0，再去掉絕對值符號得到x2=-x1+2或-x2=x1+2，然后分類解方程.

解：（1） Δ=[-（m-2）]2-4-=2（m-1）2+2，

∵2（m-1）2≥0，

∴2（m-1）2+2>0，即Δ>0，

所以方程總有兩個相異的實根.

（2） 根據題意得，x1+x2=m-2，x1·x2=

-≤0，

∴x1≤0，x2≥0或x1≥0，x2≤0.

①若x1≤0，x2≥0，則x2=-x1+2，

即x1+x2=2，∴m=4.

此時x2-2x-4=0，

②若x1≥0，x2≤0，則-x2=x1+2，

即x1+x2=-2，

∴m=0，此時x2+2x=0，

x1=0，x2=-2.

【點評】本例是根據方程根的符號進行分類討論，去掉絕對值符號是關鍵.

變式題2 關于x的一元二次方程為（m-1）x2-2mx+m+1=0.

（1） 求出方程的根；

（2） m為何整數時，此方程的兩個根都為正整數？

參考答案

變式題1：

解：當m=0時，不合題意；當m≠0時，方程是一元二次方程，由題意得，Δ=（3m）2-4m2=5m2≥0，∴m≠0.

變式題2：

（作者單位：江蘇省南京師范大學第二附屬初級中學）