中考中的一元二次方程

古作軍

一元二次方程是初中數學中一個重要內容，是以后學習數學的基礎，也是中考必考的知識點.

考點一 解一元二次方程

例1 （2014·浙江舟山）方程x2-3x=0的根為_________.

【考點】用因式分解法解一元二次方程.

【分析】根據所給方程的系數特點，可以對左邊的多項式提取公因式，進行因式分解，然后解得原方程的解.

【解答】因式分解得x（x-3）=0，解得x1=0，x2=3.

【點評】本題考查了解一元二次方程的方法，當方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用.

考點二 一元二次方程解的概念

例2 （2014·江蘇揚州）已知a，b是方程x2-x-3=0的兩個根，則代數式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值為_________.

【考點】一元二次方程的解.

【分析】根據一元二次方程解的定義得到a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，則2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5，整理得2a2-2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可.

【解答】∵a，b是方程x2-x-3=0的兩個根，

∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，

∴2a3+b2+3a2-11a-b+5

=2a（a+3）+（b+3）+3（a+3）-11a-b+5

=2a2-2a+17

=2（a+3）-2a+17

=2a+6-2a+17

=23.

故答案為23.

考點三 一元二次方程根的判別式

例3 （2014·江蘇揚州）已知關于x的方程（k-1）x2-（k-1）x+=0有兩個相等的實數根，求k的值.

【考點】根的判別式；一元二次方程的定義.

【分析】根據根的判別式令Δ=0，建立關于k的方程，解方程即可.

整理得k2-3k+2=0，即（k-1）（k-2）=0，

解得：k=1（不符合一元二次方程定義，舍去）或k=2.∴k=2.

【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式Δ的關系：

（1） Δ>0？圳方程有兩個不相等的實數根；

（2） Δ=0？圳方程有兩個相等的實數根；

（3） Δ<0？圳方程沒有實數根.

考點四 利用一元二次方程解決實際問題

例4 （2014·貴州安順）天山旅行社為吸引游客組團去具有喀斯特地貌特征的黃果樹風景區旅游，推出了如下收費標準（如圖所示）：

某單位組織員工去具有喀斯特地貌特征的黃果樹風景區旅游，共支付給旅行社旅游費用27 000元，請問該單位這次共有多少名員工去具有喀斯特地貌特征的黃果樹風景區旅游？

【考點】一元二次方程的應用.

【分析】首先根據共支付給旅行社旅游費用27 000元，確定旅游的人數的范圍，然后根據每人的旅游費用×人數=總費用解題.設該單位這次共有x名員工去黃果樹風景區旅游，由對話框可知，超過25人的人數為（x-25）人，每超過1人每人降低20元，共降低了20（x-25）元，實際每人收了[1 000-20（x-25）]元，列出一元二次方程求解.

【解答】設該單位去具有喀斯特地貌特征的黃果樹旅游人數為x人，則人均費用為[1 000-20（x-25）]元.

由題意得：x[1 000-20（x-25）]=27 000，

整理得：x2-75x+1 350=0，

解得：x1=45，x2=30.

當x=45時，人均旅游費用為1 000-20（x-25）=600<700，不符合題意，應舍去；

當x=30時，人均旅游費用為1 000-20（x-25）=900>700，符合題意.

答：該單位這次共有30名員工去具有喀斯特地貌特征的黃果樹風景區旅游.

【點評】此類題目貼近生活，有利于培養同學們應用數學解決生活中實際問題的能力.解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.特別提醒：求解后，要檢驗其解是否滿足題意.

例5 （2013·江蘇淮安）小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經理給出了如下優惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元.按此優惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1 200元.請問她購買了多少件這種服裝？

【考點】一元二次方程的應用.

【分析】根據一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，表示出每件服裝的單價，進而得出一元二次方程，解出方程即可.

【解答】設購買了x件這種服裝，

根據題意得：

[80-2（x-10）]x=1 200，

解得：x1=30，x2=20，

當x=30時，80-2（30-10）=40<50，不合題意舍去；

當x=20時，80-2（20-10）=60>50，符合題意.

答：她購買了20件這種服裝.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，根據已知得出每件服裝的單價是解題關鍵.特別提醒：求解后，要檢驗其解是否滿足題意.

通過以上四個考點的分析，希望同學們對一元二次方程的考點有足夠的理解，進行針對性的訓練，在中考中提高一元二次方程考點的得分率.

（作者單位：江蘇省南京師范大學第二附屬初級中學）