“圓”中的最值問題

許秋

近年來，以圓為載體的最值問題頻頻出現，這類問題往往知識面廣、綜合性大、應用性強，而且情境新穎，能很好地考查同學們的創新能力和潛在的數學素質，因此也成為學習圓的難點之一. 本文按知識點分四大類，以部分中考題為例，歸納總結此類試題的解題方法.

一、 利用“直線外一點到直線上各點的連線中，垂線段最短”求最值

例1 （2012·浙江寧波）如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，點D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于點E，F，連接EF，則線段EF長度的最小值為________.

【解析】如圖2，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF于點H.由圓周角定理可知：∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，由三角函數可求得EH=OE·sin∠EOH=OE. 再由垂徑定理可知：EF=2EH=OE=AD，所以當AD最小時EF最小.由垂線段最短可知：當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短.因為AB=2，∠ABC=45°，所以AD=BD=2，代入EF與AD的關系式即可求出EF的最小值為.

【點評】本題是一道融圓周角定理、垂徑定理、解直角三角形、動點于一體的綜合應用題.根據運動變化，將兩動點之間的最小值轉化為點到直線的最小值，找出EF與直徑AD的關系是解決本題的關鍵.

二、 利用“切線的性質”求最值

例2 （2011·浙江臺州）如圖3，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切⊙O于點Q，則PQ的最小值為________.

【解析】因為PQ為切線，所以△OPQ是直角三角形，所以PQ=.又因為OQ為定值，所以當OP最小時，PQ最小.根據垂線段最短知：OP=3時，PQ最小，根據勾股定理可求出PQ的最小值為.

【點評】切線的性質和垂線段最短是解決本題的關鍵.

例3 （2010·江蘇蘇州）如圖4，已知A、B兩點的坐標分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標為（-1，0），半徑為1. 若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值是（ ）.

A. 2 B. 1

C. 2- D. 2-

【解析】如圖5，根據三角形的面積公式知，△ABE底邊BE上的高AO不變，BE越小，則面積越小，可以判斷當AD與⊙C上面半圓相切時，BE的值最小.根據勾股定理求出AD的值為2，然后根據△AOE與△ADC相似求出OE的長為，所以BE最小值為2-，代入三角形的面積公式可得2-，故選C.

【點評】本題考查了坐標與圖形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質，根據相似三角形對應邊成比例列式求出OE的長度是解題的關鍵.

三、 利用“軸對稱”求最值

例4 （2014·貴州安順）如圖6，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，點B為劣弧AN的中點. 點P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（ ）.

A. B. 1

C. 2 D. 2

【解析】如圖7，作點B關于MN的對稱點B′，連接OA、OB、OB′、AB′，則AB′與MN的交點即為PA+PB最小時的點，PA+PB的最小值為AB′，由圓周角定理可知∠AON=2∠AMN=2×30°=60°.因為點B為劣弧AN的中點，所以∠BON=∠AON=30°.由對稱性得∠B′ON=∠BON=30°，所以∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°，所以AB′=OA=，即PA+PB的最小值為.故選A.

【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題、垂徑定理、圓周角定理，熟記定理并做出圖形，判斷出PA+PB的最小值等于哪條線段的長度是解題的關鍵.

四、 利用“兩點之間線段最短”求最值

例5 （2014·福建三明）如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是上的一個動點.連接AP，則AP的最小值是________.

【解析】如圖9，取BC的中點E，連接AE，交半圓于點P2，在半圓上取點P1，連接AP1，EP1，可得，AP1+EP1>AE，即AP2是AP的最小值.再根據勾股定理求出AE的長為，然后減掉半徑可得AP的最小值為-1.

【點評】本題考查了勾股定理、最短路徑問題，兩點之間線段最短是解題的關鍵.

例6 如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的任意一點（點E不與點B重合），沿DE翻折△DBE使點B落在點F處，連接AF，則線段AF長的最小值是________.

【解析】本題看似折疊的題目，好像與圓沒有關系，實則是例5的拓展，因為在折疊的過程中，點D始終是定點，DF始終是定長，所以點F的運動路線為圓.如圖11，連接AD交圓D于點F1，則AF1 的長度即為AF的最小值，利用勾股定理可求得AD=5，所以AF1=5-3=2，即線段AF長的最小值為2.

【點評】本題考查了轉化的思想、勾股定理、最短路徑問題，折疊問題轉化為圓中最值問題是解題的關鍵.

以圓為載體的最值問題多以“小而精”的形式在中考選擇、填空的壓軸題頻繁出現.所以，同學們在平時的學習中，要多注意練習、總結這類題型的解題方法，輕松面對圓中的最值問題.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）